Κριτήρια Διαιρετότητας

Παράδειγμα χρήσης Μ.Κ.Δ.

Οι μαθητές ενός σχολείου συγκέντρωσαν 120 τετράδια, 180 μολύβια και 100 ξύστρες για έναν φιλανθρωπικό σκοπό.
Πόσα το πολύ όμοια πακέτα μπορούν να φτιάξουν;
Πόσα αντικείμενα από κάθε είδος θα περιέχει το κάθε πακέτο;

Σκέψη
Θα πρέπει να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. (100, 120, 180) ο οποίος αντιπροσωπεύει τον μέγιστο αριθμό όμοιων πακέτων που μπορούν να φτιάξουν.
Tο πηλίκο της διαίρεσης καθενός από τους παραπάνω αριθμούς με τον Μ.Κ.Δ. εκφράζει τον αριθμό των αντικειμένων από κάθε είδος που θα περιέχει κάθε πακέτο.

Χρήση του ΜΚΔ στην καθημερινή ζωή

Μαθηματική έννοια με πρακτικές εφαρμογές.
Απλοποίηση προβλημάτων σε καθημερινές καταστάσεις.
Κρυμμένα μαθηματικά στην πραγματικότητα.
Μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί δύο ή περισσότερους αριθμούς.
Βασική έννοια στα κλάσματα και την απλοποίηση.
Χρήσιμη μέθοδος σε πολλούς τομείς.
Κλασματική προσαρμογή μερίδων συνταγής.
Ισορροπία υλικών και μερίδων.
Παράδειγμα: Προσαρμογή συνταγής για 4-6 άτομα.
Βέλτιστη διάταξη επίπλων και χώρων.
Συμμετρία σε αρχιτεκτονική και σχεδιασμό.
Υπολογισμός διαστάσεων με ακρίβεια.

Διαιρέτες φυσικού αριθμού. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης αριθμών

Διαιρέτες. Παίρνουμε τον αριθμό 36. Ο αριθμός αυτός διαιρείται ακριβώς με τους αριθμούς 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 και 36. Οι αριθμοί αυτοί λέγονται διαιρέτες του αριθμού 36. Διαιρέτης ενός αριθμού λέγεται ο φυσικός αριθμός που τον διαιρεί ακριβώς.

Κριτήρια Διαιρετότητας με 2, 3, 4, 5, 9, 10 ή 25 λέγονται οι κανόνες με τους οποίους μπορούμε να συμπεραίνουμε, χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με τους αριθμούς αυτούς.
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με 10 αν λήγει σε ένα μηδενικό.
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2, αν το τελευταίο ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6, 8.
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, αν λήγει σε 0 ή 5.
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9 αντίστοιχα.
Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται συγχρόνως με το 4 ή και το 25, αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι μηδέν.

Κοινοί Διαιρέτες. Παίρνουμε τους αριθμούς 24, 32, 40 και βρίσκουμε ποιοι αριθμοί τους διαιρούν ακριβώς, δηλαδή τους διαιρέτες των αριθμών. Οι κοινοί τους διαιρέτες είναι οι αριθμοί 1, 2, 4 και 8. Κοινός διαιρέτης δύο ή περισσότερων ακεραίων αριθμών λέγεται ο φυσικός αριθμός που τους διαιρεί όλους ακριβώς.

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.). Από τους παραπάνω κοινούς διαιρέτες, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης, ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης δηλαδή, είναι ο αριθμός 8. Μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο ή περισσότερων ακεραίων αριθμών λέγεται ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες.

Πώς βρίσκουμε τον ΜΚΔ δύο ή περισσότερων αριθμών; Θέλω να βρω τον ΜΚΔ των αριθμών 24, 36 και 96. Πρώτος τρόπος: Βρίσκω τους διαιρέτες των αριθμών. Ξεχωρίζω τους κοινούς διαιρέτες: 1, 2, 3, 4, 6 και 12. Ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες είναι ο αριθμός 12.

Δεύτερος τρόπος. Γράφω τους αριθμούς σε οριζόντια διάταξη, κατεβάζω το μικρότερο απ’ αυτούς (24) και τους διαιρώ με αυτόν. Κάτω από κάθε αριθμό από τους άλλους γράφω το αντίστοιχο υπόλοιπο από τη διαίρεσή του (δηλαδή 12 κάτω από το 36 και 0 κάτω από το 96). Κατεβάζω πάλι το μικρότερο από τους αριθμούς στη 2η σειρά τώρα (12) και διαιρώ τους υπόλοιπους με αυτόν. Όταν μείνει μόνο ένας αριθμός και οι υπόλοιποι είναι 0, αυτός είναι ο ΜΚΔ. Έτσι έχουμε ΜΚΔ (24, 36, 96) ίσον 12

Επίλεξε με τον/την διπλανό/ή σου δύο αριθμούς και δώστε τους στους συμμαθητές/τριές σας ώστε να βρουν τον ΜΚΔ τους με δύο τρόπους.
Πώς εργάστηκε το κάθε ζευγάρι;
Ποια κριτήρια Διαιρετότητας χρησιμοποιήσατε;
Εξηγήστε. Σκεφτείτε σε ποιες περιπτώσεις μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαδικασία αυτή στην καθημερινή μας ζωή.