## Ο νόμος του Ήρωνα

Κατά μήκος της ευθείας x'x υπάρχει ένας καθρέφτης.

Θέλουμε να βρούμε τη θέση του σημείου Μ του καθρέφτη στο οποίο ανακλάται μια ακτίνα φωτός που κατευθύνεται από το φιστίκι (σημείο Α) προς τον καθρέφτη και μετά την ανάκλαση φτάνει στο μάτι μας (σημείο Β).

A) Στο αρχείο Geogebra που ακολουθεί θα δούμε πώς προσδιορίζεται γεωμετρικά η θέση του σημείου Μ.

Β) Όπως προκύπτει από το (Α), το Μ είναι το σημείο τομής της ευθείας x'x με την ευθεία A'B, όπου Α' είναι το συμμετρικό του Α ως προς άξονα την ευθεία x'x.

Αποδείξτε τώρα ότι:
Ερώτημα 1) Αν Κ είναι οποιοδήποτε σημείο διαφορετικό του Μ πάνω στην ευθεία x'x, τότε ισχύει ΑΜ + ΜΒ < ΑΚ + ΚΒ, δηλαδή η διαδρομή που ακολουθεί η ακτίνα φωτός είναι αυτή με το ελάχιστο δυνατό μήκος.
Ερώτημα 2) Ισχύει γωνία(ΑΜx') = γωνία(BΜx).

Σχέδιο απόδειξης του ερωτήματος 1:
Χρησιμοποιούμε τη συμμετρία για να δείξουμε ότι ισχύει ΑΚ = Α'Κ.
Επομένως, ΑΚ + ΚΒ = Α'Κ + ΚΒ
Όμοια ΑΜ + ΜΒ = Α'M + ΜΒ
Όμως Α'M + ΜΒ = Α'Β < Α'Κ + ΚΒ, άρα ΑΜ + ΜΒ < ΑΚ + ΚΒ.
Συμπληρώστε την απόδειξη αιτιολογώντας κάθε βήμα.

Στη συνέχεια, αποδείξτε το ερώτημα 2, πάλι με τη βοήθεια της συμμετρίας.

Γ) Αντίστροφα:
Αποδείξτε ότι αν, για κάποιο σημείο Λ της ευθείας x'x ισχύει γωνία(ΑΛx') = γωνία(BΛx), τότε το Λ βρίσκεται πάνω στην ευθεία Α’Β, επομένως συμπίπτει με το Μ.

Ο νόμος του Ήρωνα για την ανάκλαση του φωτός είναι μια ειδική περίπτωση της αρχής του ελάχιστου χρόνου (που ονομάζεται και αρχή του Fermat), σύμφωνα με την οποία το φως, κατά τη διαδρομή του από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β, ακολουθεί το δρόμο που απαιτεί τον ελάχιστο δυνατό χρόνο. Η αρχή αυτή εφαρμόζεται τόσο κατά την ανάκλαση όσο και κατά τη διάθλαση του φωτός.

Πρόβλημα:
Σε ποιο σημείο του τοίχου ΑΒ θα πρέπει να τοποθετήσει η Κάτια έναν καθρέφτη ώστε από τη θέση της στο σημείο Κ να βλέπει το φυτό Φ που βρίσκεται στο διπλανό δωμάτιο;