Η γέφυρα των γαϊδάρων – διαφορετικές αποδείξεις μιας Πρότασης
Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν (…)
Η Πρόταση αυτή, η 5
η
Πρόταση στο
1
ο
Βιβλίο των Στοιχείων, ήταν
γνωστή σε γενιές και γενιές
Ευρωπαίων μαθητών με το
περιπαικτικό όνομα η «γέφυρα των
γαϊδάρων» - pons asinorum στα
λατινικά (πρώτη αναφορά το 1645).
Αυτό το όνομα θα πρέπει να
οφείλεται στο σχήμα της απόδειξης
του Ευκλείδη, που μοιάζει με
γέφυρα, αλλά αν το γυρίσεις
ανάποδα, μοιάζει και με κεφάλι
γαϊδάρου.
1. Η απόδειξη του Ευκλείδη:
Στην εικόνα βλέπουμε μέρος της
απόδειξης του Ευκλείδη από το
βιβλίο του Oliver Byrne «The first six
books of the Elements of Euclid» που
εκδόθηκε το 1847 στην Αγγλία. Η
πρωτοτυπία αυτής της έκδοσης είναι
ότι ο Byrne παρουσιάζει όλες τις
αποδείξεις μέσα από χρωματιστές
εικόνες, αποφεύγοντας όσο το
δυνατόν το κείμενο. Το βιβλίο αυτό
θεωρείται σήμερα κλασικό, κυρίως
για την αισθητική της
εικονογράφησής του.
Η απόδειξη του Ευκλείδη (με τον
συμβολισμό του Byrne) ξεκινάει ως
εξής:
Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών AB και AC του ισοσκελούς τριγώνουABC
παίρνουμε ίσα τμήματα 𝐵𝐷 = 𝐶𝐸. Συγκρίνουμε πρώτα τα τρίγωνα ADC και AEB.
Μπορείτε να την συμπληρώσετε;
2. Η απόδειξη του Πάππου:
Πολύ αργότερα, ο Πάππος, Έλληνας μαθηματικός του 4
ου
μ.Χ. αιώνα και μελετητής
του Ευκλείδη, έδωσε την παρακάτω ενδιαφέρουσα απόδειξη – χωρίς να προεκτείνει
ή να φέρει κάποια βοηθητική γραμμή.
Η ιδέα του Πάππου είναι να συγκρίνει το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με τον εαυτό του,
αντιστοιχίζοντας όμως την πλευρά ΑΒ με την ΑΓ και αντίστροφα. Είναι δηλαδή σαν
να ταυτίζει το τρίγωνο ΑΒΓ με τον εαυτό του, αλλά μετά από ανάκλαση.
Πιο τυπικά, ο Πάππος παρατηρεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ και το αντίγραφό του έχουν
ΑΒΓ
ΑΓΒ
ΑΒ = ΑΓ
ΑΓ = ΑΒ
𝛢
= 𝛢
και συμπεραίνει ότι ΑΒΓ=ΑΓΒ (ΠΓΠ), άρα 𝛣
= 𝛤
, ως γωνίες απέναντι από ίσες
πλευρές σε ίσα τρίγωνα.
3. Πάντως, η πρώτη απόδειξη της 5
ης
Πρότασης, αποδίδεται στον Θαλή, αλλά δεν
γνωρίζουμε τη δική του προσέγγιση.
Στη συνέχεια, παραθέτουμε ένα απόσπασμα από την «Κριτική του ορθού Λόγου» του
Γερμανού φιλοσόφου του 18
ου
αιώνα Immanuel Kant. Μπορείτε να εξηγήσετε τι
εννοεί ο Kant με αυτή την αναφορά του στην 5
η
Πρόταση;
"Τα Μαθηματικά, ως επιστήμη, βρήκαν τον ασφαλή δρόμο τους στον αξιοθαύμαστο
λαό των Ελλήνων... Πιστεύω ότι για αρκετό καιρό τα Μαθηματικά έμειναν στάσιμα
(ιδίως στον λαό των Αιγυπτίων), μέχρις ότου έγινε μια επανάσταση στον τρόπο του
σκέπτεσθαι. Την επανάσταση αυτή πρέπει να την αποδώσουμε στην ευτυχή
έμπνευση του ανθρώπου που έθεσε τα θεμέλια της επιστήμης σε όλους τους αιώνες.
Ο Διογένης ο Λαέρτιος υποδεικνύει ότι εκείνος που πέτυχε αυτό θα πρέπει να μείνει
αλησμόνητος. Είναι ο πρώτος που είχε την έμπνευση να αποδείξει την ισότητα των
προσκείμενων στη βάση γωνιών ενός ισοσκελούς τριγώνου (είτε Θαλής ονομαζόταν
είτε αλλιώς)."
