Μέθοδος Ανάλυσης-Σύνθεσης
Η Μέθοδος Ανάλυσης-Σύνθεσης έχει τις ρίζες της στα έργα του Πλάτωνα, ο οποίος
την ανέδειξε ως βασική μέθοδο για την επιστημονική έρευνα. Η μέθοδος έχει
τέσσερα βήματα: (α) Ανάλυση, (β) Σύνθεση, (γ) Απόδειξη και (δ) Διερεύνηση.
Χρησιμοποιείται σε προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών και γεωμετρικών
τόπων, αλλά μπορεί να εφαρμοστεί γενικότερα για την προσέγγιση μαθηματικών
προβλημάτων.
Στη συνέχεια, περιγράφουμε πιο αναλυτικά κάθε στάδιο αυτής της μεθόδου για
την περίπτωση των γεωμετρικών κατασκευών.
(α) Ανάλυση εφαρμόζουμε όταν η κατασκευή του ζητούμενου σχήματος δεν είναι
άμεσα φανερή. Υποθέτουμε ότι το ζητούμενο σχήμα έχει κατασκευαστεί και
προσπαθούμε να εντοπίσουμε εκείνες τις ιδιότητές του που ανάγουν τον
προσδιορισμό του σε ήδη γνωστές γεωμετρικές κατασκευές.
(β) Στη σύνθεση πραγματοποιούμε τις επιμέρους γεωμετρικές κατασκευές που
προέκυψαν από την ανάλυση.
(γ) Με την απόδειξη επιβεβαιώνουμε ότι το σχήμα που κατασκευάστηκε
ικανοποιεί τις ζητούμενες ιδιότητες.
(δ) Τέλος στη διερεύνηση αναζητούμε τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν
τα δεδομένα ώστε το πρόβλημα να έχει λύση. Επιπλέον στη διερεύνηση
εξετάζεται και το πλήθος των λύσεων του προβλήματος.
Ακολουθεί ένα παράδειγμα στο οποίο τα βήματα αυτής της μεθόδου φαίνονται
αναλυτικά:
Παράδειγμα
Έστω ευθείες (ε), (ζ) οι οποίες τέμνονται στο Σ και σημείο Α της (ε). Να
κατασκευάσετε κύκλο που εφάπτεται στις δύο ευθείες και έχει με την ε σημείο
επαφής το Α.
Ανάλυση
Έστω ότι ο ζητούμενος κύκλος
κατασκευάστηκε και έστω Σχ και Σψ οι
ημιευθείες των (ε) και (ζ) αντίστοιχα
που εφάπτονται σε αυτόν . Τότε οι
αποστάσεις ΚΑ και ΚΒ του κέντρου Κ
του κύκλου από τις ευθείες (ε) και (ζ)
αντίστοιχα είναι ίσες, και συνεπώς το
Κ θα ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας
χΣψ. Επιπλέον, το Κ ανήκει στην
κάθετη της (ε) στο σημείο της Α. Οπότε
το Κ είναι το σημείο τομής της
διχοτόμου της 𝜒𝛴
𝜓 και της κάθετης
της (ε) στο Α.
Σύνθεση
Έστω Σχ και Σψ ημιευθείες των (ε) και
(ζ) με το σημείο Α να ανήκει στη Σχ.
Κατασκευάζουμε τη διχοτόμο Σδ της
γωνίας χΣψ. Επιλέον κατασκευάζουμε
την κάθετη (η) της Σχ στο Α. Έστω ότι
οι Σδ και (η) τέμνονται
1
στο Κ. Με
κέντρο Κ και ακτίνα ΚΑ γράφουμε
κύκλο, ο οποίος είναι ο ζητούμενος.
Απόδειξη
Επειδή 𝛫𝛢 ⊥ 𝜀, ο κύκλος (Κ, ΚΑ) εφάπτεται στην (ε) στο Α. Φέρουμε το κάθετο
τμήμα ΚΒ από το Κ στη (ζ). Τότε ΚΑ = ΚΒ, επειδή το Κ ανήκει στη διχοτόμο της
𝜒𝛴
𝜓. Άρα το Β είναι σημείο επαφής του κύκλου (Κ, ΚΑ) και της ευθείας (ζ).
Επομένως, κατασκευάστηκε ο ζητούμενος κύκλος.
Διερεύνηση
Δύο τεμνόμενες ευθείες σχηματίζουν
δύο διαφορετικές γωνίες. Αν Σψ΄ η
αντικείμενη ημιευθεία της Σψ και η
διχοτόμος της 𝛢𝛴
𝜓΄ τέμνει την (η) στο
Λ τότε ο κύκλος (Λ, ΛΑ) αποτελεί άλλη
μία λύση του προβλήματος το οποίο
συνολικά έχει δύο λύσεις.
1
Αν οι Σδ και (η) ήταν παράλληλες, τότε ΣΑδ = 90
ο
. Συνεπώς χΑψ = 180
ο
, άτοπο επειδή οι (ε) και
(ζ) τέμνονται και συνεπώς δεν ταυτίζονται.
