Γεωμετρικοί τόποι
α) Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που
απέχουν από μία ευθεία (ε) σταθερή απόσταση d είναι δύο
ευθείες παράλληλες στην (ε) σε απόσταση d από αυτήν.
Απόδειξη
Θεωρούμε σημεία Α, Γ εκατέρωθεν της (ε) που απέχουν
απόσταση d από αυτήν και τις παράλληλες 󰇛
󰇜 󰇛
󰇜 στην
(ε) που διέρχονται από τα σημεία Α και Γ αντίστοιχα.
Ευθύ: Αν το σημείο Β ανήκει στην 󰇛
󰇜 και τα ΑΚ, ΒΛ είναι
κάθετα στην (ε), τότε το ΑΒΚΛ είναι ορθογώνιο (απέναντι
πλευρές παράλληλες και μια γωνία ορθή), άρα ΒΛ=ΑΚ=d.
Όμοια αν το Β ανήκει στην 󰇛
󰇜.
Αντίστροφο: Έστω Β σημείο του επιπέδου που απέχει από
την (ε) απόσταση ΒΛ=d. Αν το Β βρίσκεται στο ημιεπίπεδο
της (ε) που περιέχει το Α, τότε το ΑΒΚΛ είναι ορθογώνιο (ΑΚ
και ΒΛ παράλληλες και ίσες και γωνία
ορθή), άρα ΑΒ//ε,
δηλαδή το Β ανήκει στην 󰇛
󰇜. Όμοια, αν το Β ανήκει στο
ημιεπίπεδο του Γ, τότε το Β ανήκει στην 󰇛
󰇜
β) O γεωμετρικο ς το πος των σημειων του επιπεδου που
ισαπεχουν απο δυ ο παρα λληλες ευθειες ειναι ευθεια
παρα λληλη σε αυτες η οποια διερχεται απο το μεσο του
κάθετου τμήματος με άκρα στις ευθείες αυτές. Η ευθεια αυτή
λεγεται μεσοπαρλληλη των δυ ο παρα λληλων ευθειω ν.
Απόδειξη
Έστω δύο παράλληλες ευθείες (ε) και (η) και σημείο Κ που
ισαπέχει από τις (ε) και (η) δηλαδή ΚΑ = ΚΒ, όπου ΑΒ κάθετη
στις (ε) και (η). Τότε το Κ είναι το μέσο του κάθετου στις (ε)
και (η) τμήματος ΑΒ. Από το Κ φέρουμε ευθεία (ζ)
παράλληλη στις (ε) και (η), τη μεσοπαράλληλη.
Ευθύ: Αν το σημείο Λ ανήκει στη (ζ) και ΓΔ το κάθετο στις
(ε) και (η) τμήμα που διέρχεται από το Λ, τότε τα ΚΛΓΑ και
ΚΛΔΒ είναι ορθογώνια. Συνεπώς ΛΓ = ΑΚ και ΛΔ = ΚΒ, οπότε
ΛΓ = ΛΔ, επομένως το Λ ισαπέχει από τις (ε) και (η).
Αντίστροφο: Αν ένα σημείο Λ ισαπέχει από τις (ε) και (η),
δηλαδή ΛΓ = ΛΔ όπου ΓΔ κάθετη στις (ε) και (η), τότε ΚΛΓΑ
ορθογώνιο (ΓΔ//=ΑΒ, άρα ΓΛ//ΑΚ και 


󰇜.
Συνεπώς ΚΛ//ε, δηλαδή το Λ ανήκει στη μεσοπαράλληλη (ζ).