Συμπληρωματικό υλικό στο Κεφάλαιο Ευθείες και επίπεδα στο χώρο

Ευθείες και Επίπεδα στον Χώρο

Χαρακτηρίστε τις επόμενες προτάσεις ως προς την αλήθεια των ισχυρισμών τους:

Ασκήσεις

1. Κατ’ αναλογία με τις αντίστοιχες έννοιες της γεωμετρίας του επιπέδου να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:

• α) Δύο δίεδρες γωνίες λέγονται κατακορυφήν όταν ……..
• β) Ένα ημιεπίπεδο διχοτομεί μια δίεδρη γωνία όταν …….
• γ) Δύο δίεδρες γωνίες λέγονται εφεξής όταν ………

2. Να εξηγήσετε με όρους της γεωμετρίας του χώρου τα ακόλουθα:

• α) Γιατί όταν διπλώνουμε ένα χαρτί η τσάκιση είναι ευθεία;
• β) Για ποιο λόγο ο κατακόρυφος τοίχος ενός δωματίου συναντά το ταβάνι και το πάτωμα σε δύο παράλληλες ευθείες;
• γ) Γιατί μια πόρτα παραμένει κάθετη στο πάτωμα όταν ανοίγει;
• δ) Για ποιο λόγο όταν το επίπεδο της στέγης ενός σπιτιού τέμνει το έδαφος σε μία ευθεία, η ευθεία αυτή είναι παράλληλη σε έναν τουλάχιστον τοίχο του σπιτιού;

3. Πόσες ευθείες ορίζουν τρία επίπεδα τα οποία τέμνονται ανά δύο και δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο;

4. Πόσα ζεύγη ασύμβατων ευθειών ορίζουν τέσσερα σημεία τα οποία δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο;

5. Έστω δύο ασύμβατες ευθείες (ε) και (ζ) και δύο σημεία τους Α και Β αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα επίπεδα (ε, Β) και (ζ, Α) τέμνονται και να προσδιορίσετε την τομή τους.

6. Να αποδείξετε ότι αν τρεις ευθείες τέμνονται ανά δύο και δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο τότε διέρχονται από το ίδιο σημείο.

7. Έστω ότι τα ημιεπίπεδα p και q έχουν κοινή ακμή την ευθεία (ε) και έστω φ η δίεδρη γωνία που σχηματίζουν. Αν Κ είναι ένα εσωτερικό σημείο της φ και οι κάθετες από το Κ στα p και q τα τέμνουν στα σημεία Λ και Μ αντίστοιχα, να βρείτε τη σχέση των μέτρων των γωνιών φ και Λ Μ.

8. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κέντρο Κ. Αν Μ είναι σημείο του χώρου εκτός του επιπέδου του ΑΒΓΔ με ΜΚ κάθετη στο επίπεδο του ΑΒΓΔ, τότε:

• α) Να αποδείξετε ότι: ΜΑ = ΜΓ και ΜΒ = ΜΔ
• β) Να βρείτε σε ποια περίπτωση το Μ ισαπέχει από όλες τις κορυφές του ΑΒΓΔ.

9.

• α) Δίνεται κύκλος κέντρου Κ. Να βρείτε το σύνολο των σημείων του χώρου που ισαπέχουν από όλα τα σημεία του κύκλου.
• β) Να βρείτε το σύνολο των σημείων του χώρου που ισαπέχουν από τις κορυφές ενός τριγώνου.