Συμπληρωματικό υλικό στα τρίγωνα 1. To ΑΒΓΔΕΖ είναι κανονικό εξάγωνο και το ΑΒΗΘ είναι τετράγωνο στο εσωτερικό του. α) Να υπολογίσετε σε μοίρες το μέτρο της γωνίας   . β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Η, Δ είναι συνευθειακά. γ) Να υπολογίσετε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ΓΗ και ΖΔ. 2. Δίνονται: ● τρίγωνο ΑΒΓ με   =4 0  ● Ο μέσο της ΑΒ, Κ μέσο της ΒΓ ● κύκλος με διάμετρο ΑΒ ● κύκλος με διάμετρο ΑΓ ● η διάκεντρος ΟΚ τέμνει τους κύκλους στα Δ, Ε Βρείτε σε μοίρες τη γωνία   . 3. Στο διπλανό σχήμα βλέπετε ένα τετράγωνο μέσα σε ένα κανονικό πεντάγωνο (με όλες τις γωνίες του ίσες και όλες τις πλευρές του ίσες). Βρείτε σε μοίρες τη γωνία α.

4. Κάποια στιγμή, ανάμεσα στις 9.30 και τις 10, ο λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν κάθε μία από τις ίσες γωνίες του τριγώνου είναι διπλάσια από την τρίτη γωνία του, βρείτε την ακριβή ώρα που δείχνει το ρολόι. 5. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α, ΔΒ = ΒΕ και ΓΖ = ΓΔ. Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία x. 6. Το διπλανό εξάγωνο έχει όλες τις γωνίες του ίσες. Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών CD και DE. 7. Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ABΓ, το σημείο Δ της πλευράς AB και το σημείο E της πλευράς BΓ ώστε AΔ=BE. Ονομάζουμε Z το σημείο τομής των AE και ΓΔ. Να υπολογίσετε τη γωνία   8. Σχεδιάζουμε το ύψος ΓH και τη διάμεσο BK ενός οξυγώνιου τριγώνου ABΓ. Είναι γνωστό ότι BK=ΓH και   =   . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ABΓ είναι ισόπλευρο.

9. Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ και σημείο Β στο εσωτερικό του. Κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΕ προς το ίδιο μέρος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΕ και ΓΔ τέμνονται στο σημείο Ζ, να υπολογίσετε τη γωνία ΑΖΔ. 10. Έστω ΑΒΓΔ ένα κυρτό τετράπλευρο. Να αποδείξετε ότι  +  <  +  <  +  +  + . 11. Σε κάποιο γήπεδο βρίσκονται 7 σκοπευτές του paintball έτσι, ώστε οι αποστάσεις τους ανά δύο να είναι διαφορετικές. Κάποια συγκεκριμένη στιγμή κάθε σκοπευτής σημαδεύει τον πλησιέστερο σε αυτόν σκοπευτή. Να αποδείξετε ότι: α) τουλάχιστον ένας σκοπευτής δεν θα γίνει στόχος, β) κανείς σκοπευτής δεν θα γίνει στόχος περισσότερες από 5 φορές, γ) οι τροχιές των βολών που δεν συμπίπτουν δεν τέμνονται. 12. Υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με α = 1, β = √ 2 και γ = √ 17 3 ; 13. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές με ακέραια μήκη και ισχύουν οι σχέσεις  <  − +2 , <  − +2 , <  − +2. Να βρείτε τα μήκη α, β, γ. 14. Αν M, N, P είναι σημεία επί των πλευρών BΓ, ΓA, AB αντίστοιχα ενός τριγώνου ABΓ, να αποδειχθεί ότι  +  +  < 2( +  + ) < 3( +  + ) . 15. Έστω ABΓΔEZ ένα κυρτό εξάγωνο με περίμετρο Π. Να δείξετε ότι 3 > 2( +  + ). 16. Το θεώρημα του μεντεσέ Όταν ανοίγει μία πόρτα τότε η γωνία μεταξύ της πόρτας και του πλαισίου της στο μεντεσέ μεγαλώνει. Η σχέση των σημειωμένων γωνιών των δύο τριγώνων στο διπλανό σχήμα καθορίζει και τη σχέση των απέναντι πλευρών τους. Έτσι στην αγγλική βιβλιογραφία το παρακάτω θεώρημα είναι γνωστό και ως θεώρημα του μεντεσέ (Hinge Theorem).

Θεώρημα του μεντεσέ Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες, τότε οι τρίτες πλευρές είναι όμοια άνισες. Υπόδειξη Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ με ΑΒ = ΚΜ, ΒΓ = ΚΛ και   >   . α) Επειδή   >   θεωρούμε εσωτερικό σημείο Ε της   τέτοιο ώστε   =   και ΒΕ = ΚΜ. Τότε τα τρίγωνα ΚΜΛ και ΒΓΕ είναι ίσα. β) Έστω ΒΔ διχοτόμος της  . Τότε τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΔΒΕ είναι ίσα (ΠΓΠ). 17. Στην προηγούμενη άσκηση αποδείξατε ότι: Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις τρίτες πλευρές τους άνισες τότε οι απέναντι σε αυτές γωνίες είναι όμοια άνισες. Να διατυπώσετε την αντίστροφη της προηγούμενης πρότασης και να την αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. 18. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε την πλευρά του ΑΒ κατά τμήμα ΒΚ και την πλευρά του ΑΓ κατά τμήμα ΓΛ ώστε  = . Να αποδείξετε ότι: α)  >  β) Αν  <  τότε  < . 19. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με  >  >  και σημείο Μ στο εσωτερικό του. Να αποδείξετε ότι  +  +  <  + .