Συμπληρωματικό υλικό στα τετράπλευρα [i]
Περιεχόμενα
Α. Παραλληλόγραμμα
Β. Είδη παραλληλογράμμων
Γ. Εφαρμογές παραλληλογράμμων
Δ. Τραπέζια
Ε. Γενικές ασκήσεις
Α. Παραλληλόγραμμα
1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΓΒ = a και AΓ =
b. Οι κύκλοι (Α, a) και (B, b) τέμνονται στο
Δ. Αν η ΓΔ τέμνει την ΑΒ στο Μ να
αποδείξετε ότι η ΑΜ είναι διάμεσος του
ΑΒΓ.
2. Στο διπλανό σχήμα τα
τετράπλευρα ΑΒΓΔ, ΔΕΖΗ και
ΚΒΜΛ είναι παραλληλόγραμμα.
Να αποδείξετε ότι
=
.
3. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και
στις προεκτάσεις της διαγωνίου του ΒΔ
θεωρούμε σημεία Ε και Ζ τέτοια ώστε ΒΕ =
ΔΖ. Να αποδείξετε ότι:
α) το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι
παραλληλόγραμμο.
β)
Ζ =
Β
4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και
σημεία Ε και Ζ στις πλευρές του ΑΔ και
ΒΓ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΑΕ = ΓΖ. Αν
η ευθεία ΕΖ τέμνει τις ευθείες ΑΒ και ΓΔ
στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα, να
αποδείξετε ότι:
α) τα τρίγωνα ΑΚΕ και ΓΖΛ είναι ίσα.
β) ΓΕ = ΑΖ
γ) ΚΓ = ΛΑ
δ) τα τμήματα ΕΖ, ΒΔ και ΑΓ διέρχονται
από το ίδιο σημείο.
5. Δίνεται η πρόταση Π: Δύο διαδοχικές γωνίες ενός παραλληλογράμμου είναι
παραπληρωματικές.
α) Να αποδείξετε την πρόταση Π.
β) Να εξετάσετε αν ισχύει ότι: “Αν δύο διαδοχικές γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι
παραπληρωματικές τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόργραμμο”. Αιτιολογήστε την
απάντησή σας.
γ) Να εξετάσετε αν ισχύει ότι: “Αν οι απέναντι γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι
παραπληρωματικές τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο”. Αιτιολογήστε την
απάντησή σας.
6. Σε ένα τμήμα της Α΄ Λυκείου δόθηκε η παρακάτω άσκηση:
«Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και στις προεκτάσεις των πλευρών του ΔΑ και ΔΓ
θεωρούμε τα σημεία Ζ και Ε αντίστοιχα ώστε ΑΖ = ΔΑ και ΓΕ = ΔΓ. Να αποδειχθεί ότι τα
σημεία Ζ, Β και Ε είναι συνευθειακά».
Ένας μαθητής αφού σχεδίασε το παρακάτω
σχήμα έγραψε:
•
+
+
.
•
(ως εντός εναλλάξ των
παραλλήλων ΑΒ και ΔΓ που τέμνονται από
την ΒΓ)
•
(ως εντός εκτός και επί τα
αυτά μέρη των παραλλήλων ΑΒ και ΔΕ που
τέμνονται από την ΖΕ)
Οπότε
.
Συνεπώς
. Επομένως, τα
σημεία Ζ, Β και Ε είναι συνευθειακά.
Η Μαθηματικός του τμήματος είπε ότι η συγκεκριμένη απάντηση έχει ένα λάθος.
Μπορείτε να εντοπίσετε αυτό το λάθος και μετά να δώσετε τη λύση της άσκησης;
7. Κέντρο συμμετρίας στα τετράπλευρα
Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι αν ένα τετράπλευρο έχει κέντρο συμμετρίας τότε είναι
παραλληλόγραμμο. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε με τον ισχυρισμό του μαθητή;
Έλεγχος συλλογισμού
Ένας μαθητής για την απόδειξη της συγκεκριμένης πρότασης έγραψε:
Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κέντρο συμμετρίας το σημείο Κ. Τα τρίγωνα ΑΚΔ και
ΒΚΓ είναι ίσα (ΑΚ = ΚΓ, ΚΒ = ΚΔ, Α
Δ = Β
Γ). Επομένως Α
Κ = Κ
Γ και συνεπώς ΑΔ //
ΒΓ. Όμοια από την ισότητα των τριγώνων ΑΒΚ και ΔΚΓ αποδεικνύεται ότι ΑΒ // ΔΓ .
Οπότε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.
Υποστηρίζετε ότι ο συλλογισμός του μαθητή αποδεικνύει την πρόταση;
Αν θεωρείτε ότι ο συλλογισμός του μαθητή δεν αποδεικνύει την πρόταση να εντοπίσετε
το σημείο στο οποίο γίνεται το λάθος και να γράψετε μία απόδειξη της πρότασης.
8. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ να εγγράψετε παραλληλόγραμμο ΚΛΜΝ. Δηλαδή στις
πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ να ορίσετε αντίστοιχα σημεία Κ, Λ, Μ,
Ν ώστε το ΚΛΜΝ να είναι παραλληλόγραμμο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
9. Δύο ίσοι κύκλοι με κέντρα Κ και Λ
εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α.
Σχεδιάζουμε ορθή γωνία με κορυφή το
Α που η μία πλευρά της τέμνει τον
κύκλο (Κ, ΚΑ) στο Β και τον κύκλο (Λ,
ΛΑ) στο Γ.
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο
ΚΛΓΒ είναι παραλληλόγραμμο
β) Αν η διχοτόμος της γωνίας ΛΚΒ
τέμνει την προέκταση της ΛΓ στο Δ να
αποδείξετε ότι:
i) το τρίγωνο ΚΛΔ είναι ισοσκελές
ii) το τετράπλευρο ΚΓΔΒ είναι
παραλληλόγραμμο
10. Από σημείο Σ εκτός κύκλου κέντρου Κ
φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΣΑ και
ΣΒ. Η κάθετη στην ΣΚ τέμνει τις ευθείες ΣΑ
και ΣΒ στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα. Αν
ευθεία ΑΚ τέμνει τον κύκλο στο Ε να
αποδείξετε ότι
α) το τετράπλευρο ΑΓΕΔ είναι
παραλληλόγραμμο
β) η ΔΕ είναι εφαπτομένη του κύκλου.
11. Θεωρούμε κύκλο διαμέτρου ΑΒ και τις
εφαπτόμενές του στα σημεία Α και Β. Στις
ευθείες (ε) και (ζ) θεωρούμε σημεία Γ και
Δ αντίστοιχα ώστε ΑΓ = ΒΔ. Να αποδείξετε
ότι η ΓΔ είτε είναι παράλληλη στην ΑΒ είτε
διέρχεται από το κέντρο του κύκλου
12. Από εσωτερικό σημείο Μ ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε τις παράλληλες προς
τις πλευρές του ΑΓ, ΑΒ και ΒΓ οι οποίες τις τέμνουν στα σημεία Δ, Ε και Ζ αντίστοιχα. Να
αποδείξετε ότι το άθροισμα ΜΔ + ΜΕ + ΜΖ είναι σταθερό.
13. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ > ΑΔ. Η διχοτόμος της γωνίας Β τέμνει την
πλευρά ΓΔ στο Ε και την προέκταση της ΑΔ στο Ζ.
α) Να αποδείξετε ότι ΒΓ + ΔΖ = ΑΒ
β) Θεωρούμε σημείο Κ της ΓΔ τέτοιο ώστε ΓΚ = ΔΕ. Να αποδείξετε ότι:
i) ΑΔ = ΔΚ
ii) οι ΑΚ και ΒΖ είναι κάθετες
14. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από
δύο παράλληλες ευθείες.
15. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με
ΑΒ = ΑΓ και σημείο Ε στην ΑΓ τέτοιο ώστε
Β
Γ = φ και σημείο Δ της ΒΓ.
α) Να κατασκευάσετε γεωμετρικά σημεία
Ζ, Θ και Η στα τμήματα ΑΓ, ΒΕ και ΑΒ
αντίστοιχα τέτοια ώστε Δ
Γ = Β
Δ = Β
Δ
= φ.
β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα ΔΖ + ΔΗ
είναι σταθερό.
16. Να αποδείξετε ότι αν οι δύο διχοτόμοι
ενός τριγώνου είναι ίσες τότε το τρίγωνο
είναι ισοσκελές.
Υπόδειξη: Έστω ότι για τις διχοτόμους ΒΔ
και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ΒΔ = ΓΕ.
Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΔΖΕ.
Αποδεικνύουμε ότι το τρίγωνο ΓΕΖ είναι
ισοσκελές και συνεχίζουμε με απαγωγή σε
άτοπο.
Β. Είδη παραλληλογράμμων
1. Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ οι διαγώνιοί του
τέμνονται στο Ε.
α) Αν ΑΓ = 4α +6 και ΒΔ = 5α – 2 να βρείτε
τα μέτρα των ΑΓ, ΒΔ, ΑΕ και ΒΕ.
β) Αν ΑΕ = β+12 και ΕΔ = 3β – 8 να βρείτε
τα μέτρα των ΑΕ, ΕΔ, ΑΓ και ΒΔ.
γ) Αν Α
Δ = x +10 μοίρες και Α
Β = 4x –
30 μοίρες να βρείτε τα μέτρα των γωνιών
,
,
και
.
2. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓ είναι
ισόπλευρο τρίγωνο και τα ΑΓΔΕ και ΑΒΗΖ
είναι τετράγωνα. Να επιλέξετε τη σωστή
απάντηση σε κάθε περίπτωση.
i) Το μέτρο της γωνίας ΕΑΖ είναι:
Α. 90
ο
, Β. 110
ο,
Γ .150
ο
, Δ. 120
ο
ii) Το μέτρο της γωνίας ΔΑΗ είναι:
Α. 130
ο
, Β. 110
ο,
Γ. 150
ο
, Δ. 120
ο
iii) Το μέτρο της γωνίας ΔΑΒ είναι:
Α. 90
ο
, Β. 105
ο,
Γ. 95
ο
, Δ. 110
ο
iv) Το μέτρο της γωνίας ΑΕΖ είναι:
Α. 40
ο
, Β. 30
ο,
Γ. 60
ο
, Δ. 120
ο
Να διατυπώσετε ένα ακόμα ερώτημα για έναν συμμαθητή σας.
3. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και στο
εξωτερικό του κατασκευάζουμε
ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΖ, και
ΓΔΘ.
Αν οι προεκτάσειςς των ΖΑ και ΘΔ
τέμνονται στο Ε, ενώ οι προεκτάσεις των
ΖΒ και ΘΓ τέμνονται στο Η , να αποδείξετε
ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι
τετράγωνο.
4. Να αποδείξετε ότι οι προβολές του κέντρου ενός ρόμβου στις πλευρές του είναι
κορυφές ορθογωνίου.
5. Έστω γωνία xAy και σημείο Β της Αx. Φέρουμε ΒΔ κάθετη στην
Αy. Έστω Ε και Γ τα συμμετρικά των Α και Β ως προς το Δ
αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΑΒΕΓ είναι ρόμβος
συμπληρώνοντας το λογικό διάγραμμα.
6. Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και εκτός
αυτού κατασκευάζουμε ισόπλευρα
τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓΖ, ΓΔΗ και ΑΔΘ. Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι
τετράγωνο.
Να διατυπώσετε μία ακόμα πρόταση με
βάση το διπλανό σχήμα και να την
αποδείξετε.
7. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και στις
προεκτάσεις των πλευρών του ΑΒ και ΒΓ
θεωρούμε σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα τέτοια
ώστε ΑΕ = ΓΖ. Να αποδείξετε ότι το
τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισοσκελές και
ορθογώνιο.
8. Nα χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι: «ικανή και
αναγκαία», «αναγκαία άλλά όχι ικανή», «ικανή αλλά όχι αναγκαία» και «δεν είναι ούτε
ικανή ούτε αναγκαία» ώστε ένα τετράπλευρο να είναι ορθογώνιο,
1. οι διαγώνιοί του διχοτομούνται κάθετα.
2. οι διαγώνιοί του είναι ίσες.
3. οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι ίσες.
4. οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.
5. οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι κάθετες και ίσες.
9. Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ και σημείο Ε
στην πλευρά ΑΒ. Η διχοτόμος της γωνίας
ΕΔΓ τέμνει την πλευρά ΒΓ στο Ζ.
Θεωρούμε σημείο Η στη ΔΕ τέτοιο ώστε
ΑΕ = ΕΗ και η προέκταση της ΑΗ τέμνει
την ΔΓ στο Θ. Να αποδείξετε ότι:
α) το τρίγωνο ΔΗΘ είναι ισοσκελές
β) ΔΕ = ΑΕ + ΓΖ
Γ. Εφαρμογές παραλληλογράμμων
1. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (
= 90
ο
) και Κ, Λ, Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ,
ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΚΛΜ είναι ορθογώνιο.
2. Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ φέρουμε ΒΕ κάθετη
στην ΑΓ και η διχοτόμος της γωνίας ΔΒΕ
τέμνει την ΔΓ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι ΒΓ
= ΓΖ.
3. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και
σημείο Δ στο εσωτερικό του. Έστω Ε, Ζ, Η
οι προβολές του Δ στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ
αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το
άθροισμα ΔΕ + ΔΖ + ΔΗ είναι σταθερό.
4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ = ΑΓ και σημείο Δ της ευθείας ΒΓ. Να
αποδείξετε ότι:
α) Αν το Δ ανήκει στην πλευρά ΒΓ τότε το άθροισμα των αποστάσεων του Δ από τις
ίσες πλευρές του ΑΒΓ είναι σταθερό.
β) Αν το Δ είναι εκτός της πλευράς ΒΓ τότε η διαφορά των αποστάσεων του Δ από τις
ευθείες των ίσων πλευρών του ΑΒΓ είναι σταθερή.
5. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, με
ΑΒ = ΑΓ, Μ το μέσο της ΒΓ και τα
τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ εκτός αυτού.
Να αποδείξετε ότι:
α) Η ευθεία ΑΜ είναι μεσοκάθετη της ΕΗ.
β) Οι ευθείες ΒΖ και ΓΔ τέμνονται πάνω
στην ΑΜ.
6. Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ
και τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι τα μέσα των
πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Οι
κορυφές των χρωματιστών τριγώνων
είναι μέσα των πλευρών των τριγώνων
ΑΚΛ, ΒΚΜ, ΓΛΜ. Αν η περίμετρος του
τριγώνου είναι 24 cm να βρεθεί η
περίμετρος της χρωματισμένης περιοχής.
7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Α1, Β1, Γ1 τα
μέσα των πλευρών του ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ
αντίστοιχα. Επιπλέον Α2, Β2, Γ2 τα μέσα
των Β1Γ1, Α1Γ1, Α1,Β1 αντίστοιχα κ.ο.κ.
Να βρεθεί σε σχέση με την περίμετρο του
ΑΒΓ η περίμετρος του
α) Α1Β1Γ1
β) Α2Β2Γ2
Αν συνεχίσουμε την προηγουμένη
διαδικασία και ονομάσουμε Αν, Βν, Γν τα
σημεία που θα πάρουμε στο νιοστό βήμα,
να υπολογίσετε, σε σχέση με την
περίμετρο του ΑΒΓ και το ν, την περίμετρο
του τριγώνου ΑνΒνΓν.
8. Γεωμετρικός τόπος
Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ = ΑΓ
και Ζ και Η τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ
αντίστοιχα. Αν τα σημεία Δ και Ε των ΑΒ
και ΑΓ αντίστοιχα είναι τέτοια ώστε ΑΔ =
ΓΕ
α) Να αποδείξετε ότι το μέσο Μ του ΔΕ
ανήκει στη ΖΗ.
β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του
μέσου Μ του ΔΕ.
[Υπόδειξη: Φέρουμε ΔΘ//ΒΓ]
9. Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο
ΑΒΓΔ είναι ρόμβος και στις πλευρές του
ΒΓ και ΓΔ θεωρούμε σημεία Ε και Ζ
αντίστοιχα τέτοια ώστε το τρίγωνο ΑΕΖ
να είναι ισόπλευρο με πλευρές ίσες με τις
πλευρές του ρόμβου.
α) Να αποδείξετε ότι: ΔΖ = ΒΕ
β) Να αποδείξετε ότι η ΑΓ είναι κάθετη
στη ΖΕ.
γ) Να υπολογίσετε τις γωνίες του ρόμβου.
10. Αν οι απέναντι πλευρές ΑΒ και ΓΔ τετραπλεύρου ΑΒΓΔ είναι παράλληλες και το
σημείο τομής των διαγωνίων του ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των ΑΔ
και ΒΓ να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ και να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας.
11. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διάμεσός του
ΑΜ και το μέσο της Δ. Αν η ευθεία ΒΔ
τέμνει την ΑΓ στο Ε να αποδείξετε ότι ΓΕ =
2 ΑΕ.
12. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και Ε και Ζ τα
μέσα των πλευρών του ΓΔ και ΑΔ. Αν Κ και
Λ οι προβολές των Α και Γ αντίστοιχα
πάνω στην ΒΔ να αποδείξετε ότι οι ευθείες
ΖΚ και ΕΛ είναι κάθετες.
13. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ το
οποίο δεν είναι παραλληλόγραμμο. Να
αποδείξετε ότι
α) τα μέσα των πλευρών του ΑΒΓΔ
είναι κορυφές παραλληλογράμμου.
β) το σημείο τομής των τμημάτων ΜΝ
και ΟΡ που ενώνουν τα μέσα των
απέναντι πλευρών και τα μέσα Η, Ζ
των διαγωνίων του ΑΒΓΔ είναι σημεία
συνευθειακά.
14. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με
= 90
ο
και ισόπλευρο τρίγωνο ΑΓΔ στο
ίδιο ημιεπίπεδο της ΑΓ. Αν Ν, Μ τα μέσα
των ΑΔ, ΒΓ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι
ΒΔ = 2 ΜΝ.
15. Στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓΔ θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε
=
=
15
ο
. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΓΔ είναι ισόπλευρο.
16. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ της ΒΓ. Η παράλληλη από το Μ στην ΑΒ τέμνει την
ΑΓ στο Δ και η παράλληλη από το Μ στην ΑΓ τέμνει την ΑΒ στο Ε. Αν για κάθε σημείο Μ
της ΒΓ το άθροισμα ΜΔ + ΜΕ είναι σταθερό να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι
ισοσκελές.
17. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Μ το
μέσο της πλευράς ΑΔ και ΓΕ κάθετη στη
ΒΜ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ = ΔΓ.
18. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και εκτός του
κατασκευάζουμε τετράγωνα ΑΒΔΕ και
ΑΓΖΗ. Να αποδείξετε ότι
α) τα τμήματα ΒΗ και ΕΓ είναι ίσα και
κάθετα.
β) τα κέντρα των τετραγώνων και το
μέσο του ΒΓ σχηματίζουν ορθογώνιο και
ισοσκελές τρίγωνο.
Δ. Τραπέζια
1. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ
και ΑΒ < ΓΔ. Φέρουμε ημιευθεία Βχ //ΑΔ. Αν ο
κύκλος (Α, ΑΓ) τέμνει την Βχ στο Ε να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΕΔ είναι
ισοσκελές τραπέζιο.
1.
2. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με
κέντρο Κ και ευθεία (ε). Έστω Α΄, Β΄, Γ΄, Δ΄,
Κ΄ οι προβολές των Α, Β, Γ, Δ, Κ στην
ευθεία (ε).
α) Να αποδείξετε ότι:
2ΚΚ΄=ΑΑ΄+ΒΒ΄+ΓΓ΄+ΔΔ (1).
β) Να εξετάσετε πως διαμορφώνεται η
σχέση (1) όταν η ευθεία (ε) διέρχεται από
το σημείο Δ.
3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ζ
στην ΑΒ τέτοια ώστε ΑΖ = ΔΖ = ΔΒ και οι
παράλληλες από τα Δ και Ζ προς την ΒΓ
τέμνουν την ΑΓ στα Ε και Η αντίστοιχα. Αν
ΔΕ = 5 cm
α) Να αποδείξετε ότι η ΔΕ είναι διάμεσος
του τραπεζίου ΒΓΗΖ.
β) να υπολογίσετε τη ΒΓ
4. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) και Κ
και Λ τα μέσα των διαγωνίων του ΒΔ και
ΑΓ αντίστοιχα.
α) Να βρείτε τη σχέση των βάσεων του
τραπεζίου ΑΒΓΔ ώστε το τετράπλευρο
ΑΒΛΚ να είναι παραλληλόγραμμο.
β) Να βρείτε τις σχέσεις των πλευρών του
τραπεζίου ΑΒΓΔ ώστε το τετράπλευρο
ΑΒΛΚ να είναι ορθογώνιο.
5. Θεωρούμε οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο
ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Η μεσοκάθετη της ΑΓ
τέμνει την ΑΒ στο Δ. Από το Δ φέρουμε
παράλληλη στη ΒΓ η οποία τέμνει την ΑΓ
στο Ε. Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο ΒΔΕΓ είναι ισοσκελές
τραπέζιο.
β) ΒΕ = ΑΔ
γ) Δ
Β = Α
Γ -
6. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με
κέντρο Κ και Ε το συμμετρικό του Α ως
προς τη ΒΔ. Να αποδείξετε ότι το
τετράπλευρο ΔΒΓΕ είναι ισοσκελές
τραπέζιο.
7. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με
=120
ο
.
Στις προεκτάσεις των ΓΑ και ΒΑ θεωρούμε
σημεία Δ και Ε αντίστοιχα τέτοια ώστε ΑΔ
= ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ.
α) Αν ΑΒ < ΑΓ να αποδείξετε ότι το
τετράπλευρο ΒΔΕΓ είναι ισοσκελές
τραπέζιο.
β) Να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου
ΒΔΕΓ όταν ΑΒ = ΑΓ.
8. Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ
(ΑΒ // ΓΔ) με
= 135
ο
, τη διάμεσό του ΚΛ
και το ύψος του ΑΕ.
α) Να αποδείξετε ότι ΓΔ = ΑΒ + 2ΑΕ
β) Έστω Ζ σημείο της ΔΓ τέτοιο ώστε ΔΕ =
ΕΖ.
i) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο
ΑΒΓΖ είναι παραλληλόγραμμο.
ii) Αν η ΑΖ τέμνει την ΚΛ στο Σ τότε το
τετράπλευρο ΑΚΕΣ είναι τετράγωνο.
9. Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ και
κέντρου Κ. Θεωρούμε σημεία Γ και Δ στην
ΑΒ ώστε το Κ να είναι μέσο του ΓΔ. Από τα
Γ και Δ φέρουμε ευθείες παράλληλες
μεταξύ τους οι οποίες τέμνουν το
ημικύκλιο στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι ΕΖ κάθετη στην ΕΓ.
10. Θεωρούμε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ //ΓΔ) με
= 90
ο
και ΒΓ = ΑΒ + ΓΔ. Να αποδείξετε ότι
ο κύκλος με διάμετρο ΒΓ εφάπτεται στην ΑΔ.
11. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ //ΓΔ) με
= 90
ο
και ΒΓ = 2 ΓΔ. Αν Μ το μέσο της ΒΓ
να αποδείξετε ότι Α
Γ = 3 Μ
Β.
12. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ημιευθεία
Γχ //ΑΒ (στο ημιεπίπεδο (ΒΓ, Α)) στην
οποία θεωρούμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΓΔ
= ΑΒ + ΑΓ. Αν Μ και Ε τα μέσα των ΑΓ και
ΒΔ τότε
α) να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ
είναι τραπέζιο
β) να εκφράσετε το ΜΕ ως συνάρτηση του
ΑΓ
β) να υπολογίσετε τη γωνία Α
.
Ε. Γενικές ασκήσεις
1. Να υπολογίσετε τις γωνίες του
τριγώνου ΑΒC του διπλανού σχήματος
2. Δίνονται:
● παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ
● Ε τυχαίο σημείο της ΒΓ
● Μ μέσο του ΑΕ
● Ν μέσο του ΜΓ
● ΝΗ παράλληλη στη ΓΔ
● ΓΔ = 20
Βρείτε το μήκος του τμήματος ΝΗ.
3. Δίνονται:
● παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ
● ΑΕ διχοτόμος της
● ΔΕ διχοτόμος της
● ΕΗ ύψος του τριγώνου
ΑΕΔ
● ΕΗ = 10
Βρείτε την απόσταση ΑΖ των
παραλλήλων ΑΒ, ΓΔ.
4. Δίνονται:
● ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ
● Δ τυχαίο σημείο της πλευράς ΑΒ
● Ε η προβολή του Δ στη ΒΓ
● Μ μέσο του ΔΕ
● Κ, Λ οι προβολές του Μ στις ΑΒ, ΑΓ
● ΜΚ = 2, ΜΛ = 5.
Βρείτε το ύψος ΒΗ του τριγώνου ΑΒΓ.
5. Οι ΑΕ, ΒΕ, ΓΖ, ΔΖ είναι διχοτόμοι των
γωνιών του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ.
Γνωρίζουμε ότι ΑΒ = 8 και ΒΓ = 12.
Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος
ΕΖ.
6. Σε ένα μεγάλο δωμάτιο υπάρχουν
πολλά ίδια τραπέζια σχήματος ισοσκελούς
τραπεζίου. Οι γωνίες της μικρής βάσης του
είναι ν° όπου ν θετικός ακέραιος. O
Παναγιώτης τοποθετεί τα τραπέζια έτσι
ώστε δύο διαδοχικά τραπέζια να έχουν
κοινή μία από τις μη παράλληλες πλευρές
τους. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο
αριθμός ν ώστε η παραπάνω διάταξη να
οδηγεί σε ένα κλειστό δακτύλιο;
7. Τα ΑΒΓΔ, ΔΕΖΗ, ΖΗΘΙ και
ΑΖΚΛ του διπλανού
σχήματος είναι τετράγωνα.
Να αποδείξετε ότι το ΒΘΖΛ
είναι παραλληλόγραμμο.
8. Στο εσωτερικό
παραλληλογράμμου ABCD
βρίσκεται το σημείο P, τέτοιο
ώστε PC=BC. Δείξτε ότι η
ευθεία BP είναι κάθετη στην
ευθεία που ενώνει τα μέσα των
τμημάτων AP και CD.
9. Έστω ΑΒΓΔ ένα κυρτό τετράπλευρο και έστω Μ, Ν τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ
αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
α)
β)
10. Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου κόκκινα ή μπλε. Να αποδειχθεί ότι
υπάρχει ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κορυφές του ίδιου χρώματος.
11. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ο τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα μέσα
των ΒΟ και ΟΓ, Κ και Λ είναι τα μέσα των ΑΜ και ΑΝ, Θ
1
και Θ
2
είναι τα βαρύκεντρα των
τριγώνων ΑΒΟ και ΑΟΓ, και τέλος Ρ και Σ είναι τα μέσα των ΑΘ
1
και ΑΘ
2
, να αποδείξετε
ότι:
α) το ΣΡΘ
1
Θ
2
είναι τραπέζιο και η ΚΛ διάμεσός του
β) Το
γ)
12. Έστω ΑΒΓΔ ένα τετράπλευρο και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Αν Θ
1
, Θ
2
,
Θ
3
και Θ
4
είναι τα βαρύκεντρα των τριγώνων ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟΔ και ΔΟΑ αντίστοιχα, να
αποδείξετε ότι το Θ
1
Θ
2
Θ
3
Θ
4
είναι παραλληλόγραμμο.
13. Έστω ΑΒΓΔ ένα τετράπλευρο και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Αν Η
1
, Η
2
,
Η
3
και Η
4
είναι τα ορθόκεντρα των τριγώνων ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟΔ και ΔΟΑ αντίστοιχα, να
αποδείξετε ότι τα Η
1,
Η
2,
Η
3,
Η
4
είναι κορυφές παραλληλογράμμου.
14. Έστω ΑΒΓΔ ένας ρόμβος και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του.
α) Αν Ι
1
, Ι
2
, Ι
3
και Ι
4
είναι τα έγκεντρα των τριγώνων ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟΔ και ΔΟΑ αντίστοιχα,
να αποδείξετε ότι το Ι
1
Ι
2
Ι
3
Ι
4
είναι τετράγωνο.
β) Αν Θ
1
, Θ
2
, Θ
3
και Θ
4
είναι τα βαρύκεντρα των τριγώνων ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟΔ και ΔΟΑ
αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το Θ
1
Θ
2
Θ
3
Θ
4
είναι ορθογώνιο.
15. Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ. Δίνεται ότι:
ΑΒ = ΑΔ = x, ΔΓ = 4x,
.
Έστω Κ, Λ τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ, ΒΔ αντίστοιχα.
α) Να δείξετε ότι η ΑΚ είναι ύψος και διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΔ.
β) Να δείξετε ότι 2KΛ = 3x.
γ) Να υπολογίσετε το μήκος του ΑΚ συναρτήσει του x.
δ) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας
.
ε) Να δείξετε ότι
.
16. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με
και ΑΒ = ΑΓ. Έστω ΒΔ η διχοτόμος της
και έστω ΔΕ ύψος στο τρίγωνο ΑΔΒ.
α) Να δείξετε ότι AΔ = BΔ.
β) Έστω ΔΖ διχοτόμος της γωνίας Β
Γ. Να δείξετε ότι το ΕΔΖΒ είναι τραπέζιο.
γ) Έστω Μ το μέσον της ΕΖ. Να δείξετε ότι ΕΖ = 2ΔΜ.
17. Έστω το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με:
ΑΒ // ΓΔ, ΑΒ = 4, ΑΔ = 8,
.
Αν ΕΖ η διάμεσος του τραπεζίου και ΑΗ
ύψος του, τότε:
α) Να υπολογίσετε την ΔΗ.
β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΓΗ είναι
ισόπλευρο.
γ) Να αποδείξετε ότι το ΕΗΓΖ είναι
παραλληλόγραμμο.
δ) Να αποδείξετε ότι το ΕΗΖΒ είναι
ορθογώνιο.
