[i]
Poincaré
1.
= 48
< 180
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
.
.
10.
11.
12. Δίνεται κυρτή γωνία χΟψ και ένα σημείο Α στο εσωτερικό της. Να κατασκευάσετε
ευθεία που διέρχεται από το Α και ορίζει στις πλευρές της γωνίας ίσα ευθύγραμμα
τμήματα.
13. Από το προάστιο της
εικόνας πρόκειται να περάσει η
σιδηροδρομική γραμμή c.
Προσδιορίστε γεωμετρικά το
σημείο της γραμμής στο οποίο
θα πρέπει να κατασκευαστεί ο
σταθμός ώστε να απέχει ίση
απόσταση από το σχολείο Σ και
το μουσείο Μ.
14.
15.
16.
17.
.
18.
19. Ένας μαθητής σχεδιάζει σε ένα
κομμάτι χαρτί δύο ευθείες (ε) και (ζ) οι
οποίες τέμνονται σε ένα σημείο εκτός του
χαρτιού.
α) Να σχεδιάσετε στο χαρτί το μέρος της
διχοτόμου της γωνίας που σχηματίζουν οι
δύο ευθείες. Να αιτιολογήσετε την
απάντησή σας.
β) Να κατασκευαστούν σημεία Α, Β στις
(ε) και (ζ) αντίστοιχα ώστε η μεσοκάθετος
του ΑΒ να διέρχεται από το σημείο τομής
των (ε) και (ζ).
20. Δίνεται τετράγωνο ΚΛΜΝ πλευράς 6 cm. Ποιο από τα παρακάτω (γαλάζια) σχήματα
είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που βρίσκονται στο εξωτερικό του τετραγώνου
και απέχουν από το τετράγωνο 2 cm ;
1
Ποιο από αυτά περιλαμβάνει μόνο σημεία με τη δεδομένη ιδιότητα αλλά όχι όλα;
Ποιο περιλαμβάνει όλα τα σημεία με τη δεδομένη ιδιότητα αλλά όχι μόνο αυτά;
Α) Β)
Γ) Δ)
1
Απόσταση σημείου Ρ από ένα σχήμα λέμε το ελάχιστο μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος που
ενώνει το σημείο Ρ με κάποιο σημείο του σχήματος.
❑
.
❑
.
Reulaux (1829
20
202 km
151 km
47 km
ΣΤ. Υπερβολική γεωμετρία: Το μοντέλο του Poincaré
Ο σπουδαίος μαθηματικός Henri Poincaré (1854 -1912) δημιούργησε ένα
δισδιάστατο μοντέλο για την υπερβολική γεωμετρία, πολύ διαφορετικό από το
υπερβολοειδές που συναντήσαμε στο 1
ο
Κεφάλαιο. Πρόκειται για τον δίσκο του
Poincaré που θα περιγράψουμε εδώ:
Φανταστείτε έναν κύκλο c κέντρου Ο στο επίπεδο. Ο «χώρος» μας αποτελείται
από όλα τα εσωτερικά σημεία του αντίστοιχου δίσκου, δηλαδή δεν περιλαμβάνει
τα σημεία της περιφέρειας. Οι «ευθείες» αυτού του χώρου, δηλαδή οι γραμμές των
συντομότερων διαδρομών, θεωρούμε ότι είναι είτε διάμετροι του κύκλου c (χωρίς
τα άκρα τους) είτε τόξα κύκλων οι οποίοι «τέμνουν κάθετα» τον κύκλο c.
Παρένθεση: Λέμε ότι δύο κύκλοι τέμνονται κάθετα όταν οι εφαπτόμενές τους στο
σημείο τομής είναι κάθετες. Αυτό είναι ισοδύναμο με το ότι οι ακτίνες των κύκλων
που καταλήγουν στο σημείο τομής είναι κάθετες μεταξύ τους. Εξηγήστε γιατί και
σχεδιάστε δύο κύκλους που τέμνονται κάθετα.
Στον δίσκο του Poincaré που βλέπουμε εδώ, οι γραμμές
και
είναι
«ευθείες». Παρατηρήστε ότι οι «ευθείες»
και
είναι παράλληλες στην
(αφού
δεν έχουν κοινό σημείο με αυτήν) και διέρχονται και οι δύο από το σημείο Α.
Βλέπουμε ότι από σημείο εκτός ευθείας διέρχονται δύο τουλάχιστον παράλληλες
προς αυτήν, επομένως η γεωμετρία αυτού του χώρου δεν είναι ευκλείδεια, αλλά
υπερβολική.
Την εικόνα αυτού του χώρου την δίνει καλύτερα η ακόλουθη πλακόστρωσή του
με επτάγωνα:
Εικόνα που δημιουργήθηκε από τον David Wright (πηγή: +Plus magazine)
Για τα (φανταστικά) πλάσματα που ζουν σε αυτόν το χώρο, όλα αυτά τα
πλακάκια είναι κανονικά επτάγωνα (δηλαδή με ίσες πλευρές και ίσες γωνίες) και
μάλιστα ίσα μεταξύ τους!
Αυτό συμβαίνει γιατί, καθώς κατευθυνόμαστε από το κέντρο προς την
περιφέρεια οι αποστάσεις μεγαλώνουν ή, με άλλα λόγια, τα πλάσματα που ζουν
εκεί μέσα, καθώς κινούνται προς την περιφέρεια μικραίνουν τα ίδια και έτσι
βλέπουν τις αποστάσεις μεγαλύτερες από εμάς που τις βλέπουμε απέξω.
Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ο δρόμος,
που εμείς οι απέξω βλέπουμε ως ευθύγραμμο
τμήμα ΒΓ στο διπλανό σχήμα, για τα πλάσματα
που ζουν μέσα στον δίσκο έχει μήκος
μεγαλύτερο από το τόξο ΒΓ, τα σημεία του
οποίου είναι πιο κοντά στο κέντρο του κύκλου.
Μάλιστα, η «ευθεία οδός», δηλαδή ο πιο
σύντομος δρόμος από το Β στο Γ, είναι γι’ αυτά
τα πλάσματα το τόξο ΒΓ.
Επιπλέον, ένα πλάσμα που ζει σε αυτόν τον δίσκο, δεν θα καταφέρει ποτέ να
φτάσει στην περιφέρεια, γιατί όσο κινείται προς αυτήν, τόσο το ίδιο μικραίνει,
οπότε η σχετική απόστασή του από την περιφέρεια παραμένει μεγάλη.
Αυτό το μαθηματικό μοντέλο ενέπνευσε τον Ολλανδό ζωγράφο και χαράκτη M.C.
Escher, ο οποίος δημιούργησε διάφορα σχετικά έργα, μεταξύ των οποίων το
Circle limit III, που βλέπουμε εδώ:
Z.
Kandinsky.
