Όλα τα τρίγωνα είναι ισοσκελή!

Στη συνέχεια αναπτύσσεται ένας συλλογισμός, το συμπέρασμα του οποίου είναι

ότι κάθε τρίγωνο είναι ισοσκελές. Μπορείτε να εντοπίσετε το λάθος σε αυτό

το συλλογισμό;

«Στο τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόμος της γωνίας Α και

η μεσοκάθετος της ΒΓ τέμνονται στο σημείο Δ.

Άρα ΔΕ = ΔΖ και ΔΒ = ΔΓ.

Συνεπώς τα ορθογώνια τρίγωνα

Από (1), (2) προκύπτει ΑΒ = ΑΓ.»

Ας δούμε τη συζήτηση που έγινε για αυτό το πρόβλημα στην τάξη του Μελέτη και

της Σοφίας:

Μελέτης: Αν ΔΕ και ΔΖ οι αποστάσεις του Δ από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ

αντίστοιχα τότε ΔΕ = ΔΖ. Επιπλέον το Δ ανήκει στη μεσοκάθετο του ΒΓ οπότε ΔΒ

= ΔΓ. Συνεπώς τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΒΕ και ΔΓΖ είναι ίσα. Οπότε ΒΕ = ΓΖ . (1)

Επιπλέον ΑΔΕ = ΑΔΖ (ΑΔ κοινή, 𝛦𝛢

󰆹

𝛥 = 𝛧𝛢

󰆹

𝛥, 𝛦

= 𝛧



= 90

𝜊

). Άρα ΑΕ = ΑΖ. (2)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1), (2) προκύπτει ΑΒ = ΑΓ.

Σοφία: Κύριε νομίζω ότι κάτι άλλο θέλετε να μας πείτε.

Καθηγητής: Τι εννοείς Σοφία;

Σοφία: Αν θυμάμαι καλά είχαμε πει ότι η διχοτόμος μιας γωνίας τριγώνου

σχηματίζει με τη μικρότερη πλευρά που την περιέχει, γωνία μικρότερη από την

γωνία που σχηματίζει η διάμεσος του τριγώνου που διέρχεται από την ίδια

κορυφή.

Καθηγητής: Αυτό ισχύει, αλλά τι σχέση έχει με το σχήμα που υποστηρίζεις ότι

είναι λανθασμένο;

Σοφία: Αν συμβαίνει αυτό, τότε το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας Α και

της μεσοκαθέτου της ΒΓ τέμνονται εκτός του τριγώνου ΑΒΓ. Βέβαια, αν το

Μελέτης: Κύριε, εγώ και τώρα μπορώ να το αποδείξω.

Καθηγητής: Για πες μας Μελέτη.

Μελέτης: Είναι ΔΕ = ΔΖ (αποστάσεις του σημείου Δ της διχοτόμου της γωνίας Α

από τις πλευρές της). Επιπλέον είναι ΔΒ = ΔΓ επειδή το Δ είναι σημείο της

μεσοκαθέτου της ΒΓ. Οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΒΕ και ΓΔΖ είναι ίσα.

Σοφία: Κύριε στο διάλειμμα έκανα το σχήμα σε πρόγραμμα δυναμικής

γεωμετρίας και είδα ότι και πάλι προσπαθήσατε να μας παραπλανήσετε.

Καθηγητής: Τι εννοείς Σοφία;

Σοφία: Στο δυναμικό σχήμα που έκανα παρατήρησα ότι αν ΑΒ < ΑΓ, τότε η

προβολή του Δ στην ΑΒ πέφτει εκτός του ΑΒ, ενώ η προβολή του Δ στην ΑΓ

πέφτει εντός του ΑΓ.

Καθηγητής: Δηλαδή Σοφία θεωρείς ότι το σωστό σχήμα είναι όπως το

παρακάτω;

ή θα πιστέψουμε το πρόγραμμα δυναμικής γεωμετρίας;

Καθηγητής: Εντάξει Σοφία. Μήπως λοιπόν μπορείτε να προσδιορίσετε τι θα

πρέπει να αποδείξουμε για να ισχύει αυτό που μας είπες;

Σοφία: Ναι κύριε, αυτό το είχα σκεφτεί. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η γωνία ΑΒΔ

είναι αμβλεία και ότι η γωνία ΑΓΔ είναι οξεία.

Μελέτης: Αυτό είναι εύκολο. Η γωνία ΑΒΔ είναι εξωτερική του ορθογώνιου

τριγώνου ΒΕΔ, οπότε είναι αμβλεία.

Καθηγητής: Μελέτη με τον τρόπο αυτό έχεις χρησιμοποιήσει αυτό που θες να

Δηλαδή χρειαζόμαστε επιχειρήματα που δεν χρησιμοποιούν τα Ε και Ζ.

Σοφία: Μελέτη, στο πρόγραμμα φαίνεται ότι ισχύει.

(Μετά από λίγα λεπτά)

Μελέτης: Νομίζω ότι το βρήκα.

Καθηγητής: Για πες μας Μελέτη.

μεσοκάθετος του ΒΓ τέμνονται στο μέσο Δ του τόξου ΒΓ . Συνεπώς το Δ ανήκει

στον κύκλο των Α, Β και Γ.

Καθηγητής: Πολύ καλά. Μπορείτε τώρα να αξιοποιήσετε αυτό το στοιχείο για

να αποδείξετε ότι, αν ΑΒ < ΑΓ, τότε η γωνία ΑΒΔ είναι αμβλεία και η γωνία ΑΓΔ

είναι οξεία;

Μελέτης: Κύριε, πρέπει να το βρήκα.

Καθηγητής: Σε ακούμε Μελέτη.

είναι ίσα. Επιπλέον, αν ΑΒ μικρότερο του ΑΓ, τότε και τα (μικρά) τόξα ΑΒ και ΑΓ

είναι όμοια άνισα. Συνεπώς το τόξο ΑΒΔ είναι μικρότερο από το τόξο ΑΓΔ και

επειδή το άθροισμά τους είναι 360

θα πρέπει το τόξο ΑΒΔ να είναι μικρότερο από

Μελέτης: Σοφία, αν δεν ήσουν τόσο προσεκτική εγώ ακόμη θα πίστευα ότι

έχουμε αποδείξει ότι όλα τα τρίγωνα είναι ισοσκελή.

Σοφία και Μελέτης: Ευχαριστούμε κύριε!