Συνθετικές εργασίες τετραπλεύρων
Περιεχόμενα:
1. Λογότυπα
2. Ισότητα τετραπλεύρων
3. Μια παλιά γεωμετρική σπαζοκεφαλιά: Το πρόβλημα με τα τρία
τετράγωνα
4. Γωνίες 15
ο
μέσα σε τετράγωνο
5. Ταξινόμηση τετραπλεύρων
6. Ιστορική ταξινόμηση τετραπλεύρων
7. Τι συμβαίνει αν δεν ...
1. Λογότυπα (logos)
Τα λογότυπα (logos) είναι σήματα τα οποία χρησιμοποιούν διάφοροι
οργανισμοί για να εκφράσουν στοιχεία του ονόματος τους ή των εργασιών τους,
προκειμένου να διακρίνονται από άλλους, να είναι εύκολα αναγνωρίσιμοι και να
προσελκύουν το κοινό.
Στην παρακάτω εικόνα φαίνονται τρία logos που κατασκευάστηκαν από
τετράπλευρα και άλλα γεωμετρικά σχήματα.
Μπορείτε να σχεδιάσετε ένα logo για το μάθημα της γεωμετρίας ή το χόμπυ σας;
2. Ισότητα τετραπλεύρων
Δύο τετράπλευρα είναι ίσα όταν έχουν τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες
γωνίες τους ίσες μία προς μία. Ένας συμμαθητής σου ισχυρίζεται ότι όταν δύο
παραλληλόγραμμα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.
Συμφωνείς ή διαφωνείς με το συμμαθητή σου;
Αν συμφωνείς απόδειξε την αντίστοιχη πρόταση.
Αν διαφωνείς, να βρεις κατάλληλο αντιπαράδειγμα και να ενισχύσεις με μία
επιπλέον υπόθεση την πρόταση ώστε να είναι αληθής.
Να ακολουθήσετε την ίδια διαδικασία για να ελέγξετε αντίστοιχες εικασίες
ισότητας ειδικών τετραπλεύρων. Για παράδειγμα ελέγξτε αν δύο ορθογώνια ή
δύο ρόμβοι με ίσες διαγωνίους είναι ίσα.
3. Μια παλιά γεωμετρική σπαζοκεφαλιά: Το πρόβλημα με τα τρία
τετράγωνα
Τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ, ΒΓΕΖ και ΕΖΗΘ είναι τρία τετράγωνα. Να αποδείξετε ότι
𝛩𝛢𝛨

+ 𝛩𝛣𝛨

= 45°.
Προσφέρεται για πολλές λύσεις από πολύ διαφορετικά κεφάλαια των
μαθηματικών.
Μία λύση ακολουθεί τα παρακάτω βήματα που συμπεριλαμβάνει την
κατασκευή ενός βοηθητικού τέταρτου τετραγώνου:
Μια λύση που βασίζεται σε βοηθητικό τετράγωνο
Τα ΑΒΓΔ, ΒΓΕΖ, ΕΖΗΘ και ΓΔΙΚ είναι τέσσερα τετράγωνα. Να αποδείξετε ότι:
α) 𝛣𝛪 = 𝛣𝛩 και 𝛪𝛣𝛩

= 90°
β) 𝛩𝛢𝛨

= 𝛪𝛩𝛥

και 𝛩𝛣𝛨

= 𝛣𝛩𝛥

γ) 𝛩𝛢𝛨

+ 𝛩𝛣𝛨

= 45°.
4. Γωνίες 15
ο
μέσα σε τετράγωνο
Το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο και το Ε είναι εσωτερικό του σημείο ώστε 𝛦𝛥𝛤

=
𝛦𝛤𝛥

= 15°. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ισόπλευρο.
Μια λύση που βασίζεται σε βοηθητικό τρίγωνο
Το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο και το Ε
είναι εσωτερικό του σημείο ώστε
𝛦𝛥𝛤

= 𝛦𝛤𝛥

= 15°. Εξωτερικά του
τετραγώνου κατασκευάζουμε το
ισόπλευρο τρίγωνο ΓΔΖ.
α) Να δείξετε ότι η ευθεία ΖΕ είναι η
μεσοκάθετος του ΓΔ.
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του
τριγώνου ΖΓΕ.
γ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο
ΖΕΒΓ είναι ρόμβος.
δ) Να αποδείξετε ότι το ΑΕΒ είναι
ισόπλευρο.
5. Ταξινόμηση τετραπλεύρων
Στην ταξινόμηση των τετραπλεύρων του κεφαλαίου αυτού ακολουθήσαμε μία
διαδρομή από το γενικό στο ειδικό. Δηλαδή, έχοντας τη γενική έννοια του
τετραπλεύρου προσθέτουμε μία ιδιότητα, για παράδειγμα, να έχει τις απέναντι
πλευρές του παράλληλες και οδηγηθήκαμε σε ένα ειδικότερο σχήμα, στο
παραλληλόγραμμο. Στη συνέχεια, προσθέσαμε μία ιδιότητα στο
παραλληλόγραμμο, για παράδειγμα, να έχει τις πλευρές του ίσες, και προέκυψε
ένα ακόμη ειδικότερο σχήμα, ο ρόμβος. Έτσι, γνωρίζοντας ότι ένα τετράπλευρο
είναι ρόμβος είμαστε βέβαιοι ότι έχει και όλες τις ιδιότητες της ευρύτερης
κατηγορίας στην οποία ανήκει, δηλαδή του παραλληλογράμμου. Βεβαίως δεν
ισχύει το αντίστροφο, δηλαδή, αν ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο,
τότε αυτό δεν έχει και όλες τις ιδιότητες του ρόμβου.
Σημειώνουμε ότι σύμφωνα με τον ορισμό που υιοθετήσαμε στο κεφάλαιο αυτό,
τραπέζιο θεωρούμε το τετράπλευρο που έχει μόνο δύο απέναντι πλευρές
παράλληλες. Με τον τρόπο αυτό διαχωρίζονται τα τραπέζια από τα
παραλληλόγραμμα και έχουμε μία ταξινόμηση που φαίνεται στο σχήμα 1.
σχήμα 1
Ας αναρωτηθούμε τις συνέπειες που προκύπτουν θεωρώντας ως τραπέζιο το
τετράπλευρο που έχει τουλάχιστον δύο απέναντι πλευρές παράλληλες. Στην
περίπτωση αυτή τα παραλληλόγραμμα είναι υποκατηγορία των τραπεζίων και
μάλιστα είναι ισοσκελή τραπέζια αφού έχουν τις απέναντι πλευρές τους ίσες.
Έτσι προκύπτει η ταξινόμηση που φαίνεται στο σχήμα 2. Όμως τα ισοσκελή
τραπέζια είναι σχήματα που εγγράφονται πάντα σε κύκλο, αλλά αυτή η ιδιότητα
δεν ισχύει για το γενικό παραλληλόγραμμο (ισχύει μόνο για τα ορθογώνια).
σχήμα 2
Στη συνέχεια θα μελετήσουμε μία αντίστροφη διαδικασία ταξινόμησης των
τετραπλεύρων: Ξεκινώντας από το πιο ειδικό, το τετράγωνο και αφαιρώντας
ιδιότητες θα οδηγηθούμε σε πιο γενικά τετράπλευρα όπως το
παραλληλόγραμμο και το τραπέζιο. Η ιδέα βασίζεται στην θεώρηση που
υιοθετείται στη γεωμετρία του Felix Klein (1849-1925) όπου τα σχήματα
μελετώνται με βάση τους μετασχηματισμούς που τα διατηρούν αναλλοίωτα.
Το τετράγωνο του παρακάτω σχήματος παραμένει αναλλοίωτο μετά από τους
εξής μετασχηματισμούς:
1. R0 (Στροφή
1
γύρω από το Ο κατά γωνία 0
ο
)
2. R90 (Στροφή γύρω από το Ο κατά γωνία 90
ο
)
3. R180 (Στροφή γύρω από το Ο κατά γωνία
180
ο
)
4. R270 (Στροφή γύρω από το Ο κατά γωνία
270
ο
)
5. Sx (Συμμετρία ως προς τον άξονα x)
6. Sy (Συμμετρία ως προς τον άξονα y)
7. SΑΓ (Συμμετρία ως προς τον άξονα ΑΓ)
8. SΒΔ (Συμμετρία ως προς τον άξονα ΒΔ)
1
H στροφή θεωρείται κατά τη θετική φορά δηλαδή, αντίθετη από τη φορά κίνησης των
δεικτών του ρολογιού.
Έτσι, τετράγωνο μπορεί να θεωρηθεί το τετράπλευρο που παραμένει
αναλλοίωτο ως προς τους προηγούμενους οκτώ μετασχηματισμούς. Αν
αφαιρέσουμε κάποιους από τους μετασχηματισμούς που αφήνουν αναλλοίωτο
το τετράγωνο και διατηρήσουμε τους {R0, R180, Sx, Sy} τότε προκύπτει το
ορθογώνιο.
Να βρείτε σε κάθε περίπτωση ποια τετράπλευρα αφήνουν αναλλοίωτα οι
παρακάτω ομάδες μετασχηματισμών.
α) {Ρ0, Ρ180, SΑΓ, SΒΔ}
β) {R0, R180}
γ) {R0, Sy}
δ) {R0, SΒΔ}
ε) {R0}
Η ταξινόμηση είναι ιδιαίτερα σημαντική διαδικασία για την γνώση και δεν
εφαρμόζεται μόνο στα μαθηματικά. Για παράδειγμα, στη Γεωγραφία χωρίζουμε
τη Γη σε ηπείρους, κράτη, νομούς, πόλεις κ.λπ. Στη Βιολογία οι οργανισμοί
ταξινομούνται σε βασίλεια, φύλα, ομοταξίες, τάξεις, οικογένειες, γένη και είδη.
Για παράδειγμα ο άνθρωπος ανήκει στο βασίλειο των ζώων, στο φύλο των
χορδωτών, στην ομοταξία των θηλαστικών, στην τάξη των πρωτευόντων, στην
οικογένεια των ανθρωποειδών, στο γένος Homo και στο είδος Homo Sapiens.
Στη Χημεία τα στοιχεία ταξινομούνται στον περιοδικό πίνακα.
6. Ιστορική ταξινόμηση τετραπλεύρων
Ο ορισμός 22 στο βιβλίο Ι των Στοιχείων του Ευκλείδη έχει ως εξής:
Πρωτότυπο
«Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων
τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ
ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ
ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ,
ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ
ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς
ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας
ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν
ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον: τὰ δὲ παρὰ
ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια
καλείσθω»
Μετάφραση
Από τα τετράπλευρα σχήματα,
τετράγωνα είναι εκείνα τα οποία είναι
ισόπλευρα και ορθογώνια, ετερομήκη
είναι εκείνα που είναι ορθογώνια αλλά
όχι ισόπλευρα, ρόμβοι είναι εκείνα που
είναι ισόπλευρα αλλά όχι ορθογώνια
και ρομβοειδή είναι εκείνα που δεν
είναι ισόπλευρα ή ορθογώνια. Τα
υπόλοιπα τετράπλευρα ονομάζονται
τραπέζια.
α) Να σχεδιάσετε ένα σχήμα για καθένα από τα τετράπλευρα που αναφέρονται
στον προηγούμενο ορισμό και να συγκρίνετε τη σύγχρονη ορολογία με αυτή του
Ευκλείδη.
β) Να καταγράψετε την ταξινόμηση των τετραπλεύρων σύμφωνα με τον
Ευκλείδη σε ένα διάγραμμα Venn.
7. Δημιουργία προβλήματος : Τι συμβαίνει αν δεν …
Πρόταση: Αν Κ, Λ. Μ, Ν είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ ενός
τετραγώνου, τότε το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο.
α) Τι συμβαίνει αν το ΑΒΓΔ δεν είναι τετράγωνο; (Τι συμβαίνει αν το ΑΒΓΔ είναι
ορθογώνιο; κλπ)
β) Τι συμβαίνει αν τα Κ, Λ, Μ, Ν δεν είναι μέσα; (Μπορείτε να ορίσετε τα Κ, Λ, Μ,
Ν στις πλευρές του ΑΒΓΔ ώστε το ΚΛΜΝ να είναι τετράγωνο;)
γ) Τι συμβαίνει αν το ΑΒΓΔ δεν είναι τετράγωνο και τα Κ, Λ, Μ, Ν δεν είναι μέσα;
(Μπορείτε να ορίσετε τα Κ, Λ, Μ, Ν στις πλευρές ορθογωνίου ώστε το ΚΛΜΝ να
είναι ορθογώνιο;)
Μπορείτε να συνεχίσετε αυτή τη διαδικασία δημιουργώντας νέα προβλήματα.