## Διαγράμματα Voronoi

Κατά τη διάρκεια μιας επιδημίας χολέρας στο Σόχο του Λονδίνου το 1854, ο ιατρός John Snow είχε την ιδέα να καταγράψει σε ένα χάρτη τις βρύσες του Σόχο και τις διευθύνσεις των θανόντων από χολέρα. Με τον τρόπο αυτό διαπίστωσε ότι οι περισσότεροι θάνατοι από χολέρα σημειώθηκαν στην περιοχή που ήταν πλησιέστερα στη βρύση της Broad Street. Με βάση αυτή τη μελέτη, ο Snow υποστήριξε την καινοτόμο για την εποχή άποψη – η οποία επιβεβαιώθηκε μερικά χρόνια αργότερα – ότι η χολέρα μεταδίδεται μέσω του μολυσμένου νερού. Ο χάρτης του Snow είναι ένα παράδειγμα διαγράμματος τύπου Voronoi. Τα διαγράμματα αυτά πήραν το όνομά τους από τον Ρώσο μαθηματικό Georgy Voronoi (1868-1908) o οποίος τα όρισε και τα μελέτησε. |
| Ο χάρτης του John Snow. Οι μπάρες δηλώνουν τον αριθμό των θυμάτων σε μια διεύθυνση. Η καμπύλη περικλείει την περιοχή που είναι πλησιέστερα στη βρύση της Broad Street και μακρύτερα από κάθε άλλη βρύση.

Όταν δίνεται ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο, το αντίστοιχο διάγραμμα Voronoi είναι ο χωρισμός του επιπέδου σε περιοχές που καθεμία περιέχει ένα ακριβώς από τα δεδομένα σημεία και αποτελείται από όλα εκείνα τα σημεία του επιπέδου που είναι πλησιέστερα σε αυτό σε σχέση με τα υπόλοιπα δεδομένα σημεία. Στον χάρτη του Snow, τα δεδομένα σημεία ήταν οι βρύσες του Σόχο. Στο διπλανό σχήμα τα δεδομένα σημεία είναι οι μαύρες κουκίδες και οι περιοχές που ορίζονται με βάση αυτά τα σημεία είναι ζωγραφισμένες με διαφορετικά χρώματα. Τα δεδομένα σημεία με βάση τα οποία ορίζεται ένα διάγραμμα Voronoi τα λέμε βασικά σημεία. |

Η απλούστερη περίπτωση διαγράμματος Voronoi είναι όταν έχουμε δύο βασικά σημεία Α, Β και χωρίζουμε το επίπεδο στις περιοχές ΠΑ και ΠΒ των σημείων που είναι πλησιέστερα στο Α και στο Β αντίστοιχα. Όπως έχουμε δει, αυτό γίνεται με μια ευθεία γραμμή: Τη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ. |
| Διάγραμμα Voronoi για δύο σημεία Α, Β

Στη γενική περίπτωση που έχουμε τρία ή περισσότερα βασικά σημεία, οι περιοχές του διαγράμματος ορίζονται από πολυγωνικές γραμμές. Κάθε ακμή (πλευρά) μιας τέτοιας πολυγωνικής γραμμής είναι τμήμα της μεσοκαθέτου κάποιου από τα τμήματα με άκρα δύο από τα βασικά σημεία. Κάθε κορυφή της πολυγωνικής γραμμής είναι το περίκεντρο ενός τριγώνου που ορίζεται από τρία από τα βασικά σημεία. |
| Διάγραμμα Voronoi για τρία σημεία Α, Β, Γ

### Πρόβλημα 1: Πιτσαρίες

Στο χάρτη που βλέπετε στο αρχείο Geogebra, ας υποθέσουμε ότι στις θέσεις Α, Β και C είναι τρεις πιτσαρίες της ίδιας αλυσίδας. Οι τρεις πιτσαρίες έχουν χωρίσει το χάρτη σε περιοχές ευθύνης τους ώστε να γνωρίζουν ποια πιτσαρία είναι πιο κοντά στη διεύθυνση του πελάτη και να αναλαμβάνει η πλησιέστερη την κάθε παραγγελία. Α) Να προσδιορίσετε τις περιοχές ευθύνης της κάθε πιτσαρίας και να βρείτε ποια από τις τρεις θα αναλάβει μια παραγγελία από τη θέση O που φαίνεται στο χάρτη. Β) Να προσθέσετε μία τέταρτη πιτσαρία στο χάρτη και να ξαναχωρίσετε το χάρτη σε περιοχές ευθύνης της καθεμιάς ώστε κάθε σημείο στο χάρτη που ανήκει στην περιοχή ευθύνης μιας πιτσαρίας να βρίσκεται πλησιέστερα σε αυτήν.

### Πρόβλημα 2: Αποκλειστική Οικονομική Ζώνη (ΑΟΖ)

Αποκλειστική Οικονομική Ζώνη (ΑΟΖ) ονομάζεται η θαλάσσια έκταση, εντός της οποίας ένα κράτος έχει δικαίωμα έρευνας ή εκμετάλλευσης των θαλάσσιων πόρων, έμβιων και μη, συμπεριλαμβανόμενης της παραγωγής ενέργειας από το νερό ή τον άνεμο, όπως προβλέπεται από τη Σύμβαση των Ηνωμένων Εθνών για το Δίκαιο της Θάλασσας (1982). Η ΑΟΖ εκτείνεται στα 200 ναυτικά μίλια (δηλαδή 370,4 χιλιόμετρα) από την ακτογραμμή του κράτους, εφόσον δεν τέμνεται με την ΑΟΖ άλλου κράτους. Στην περίπτωση που οι ΑΟΖ δύο κρατών τέμνονται (αν δηλαδή η απόσταση των δύο χωρών είναι μικρότερη των 400 ναυτικών μιλίων), έγκειται στις εμπλεκόμενες χώρες να ορίσουν από κοινού τα θαλάσσια σύνορα. Ένα κριτήριο διαμοιρασμού που μπορεί να χρησιμοποιηθεί είναι κάθε σημείο της κοινής περιοχής των δύο ΑΟΖ να περιέρχεται στη δικαιοδοσία της εγγύτερης χώρας, δηλαδή της χώρας με το πλησιέστερο σημείο στεριάς. Εδώ μπορούν να αξιοποιηθούν τα διαγράμματα Voronoi.

(πηγή: Wikipedia)

### Το πρόβλημα

Νοτιοανατολικά της Ελλάδας βρίσκεται μια κρίσιμη γεωστρατηγικά περιοχή που περικλείεται από την Ελλάδα, τη Λιβύη, την Αίγυπτο, την Κυπριακή Δημοκρατία, το Ισραήλ, το Λίβανο και την Τουρκία. Στόχος μας εδώ είναι να παρουσιάσουμε μία πρόταση για τις ΑΟΖ των χωρών Ελλάδας, Αιγύπτου και Λιβύης. Για το σκοπό αυτό, στο αρχείο Geogebra που ακολουθεί έχουμε ενσωματώσει το χάρτη της περιοχής. Δίνεται επίσης ένα βίντεο, στο οποίο σχεδιάζουμε τις ΑΟΖ Ελλάδας και Αιγύπτου πάνω στον ίδιο χάρτη. Εσείς, με βάση τις οδηγίες που δίνονται, καλείστε να επεκτείνετε τη διαδικασία για να παρουσιάσετε την πρότασή σας για τις ΑΟΖ Ελλάδας, Αιγύπτου και Λιβύης. Στη συνέχεια μπορείτε να εφαρμόσετε τη διαδικασία και σε άλλες γειτονικές χώρες. Στο χάρτη έχουμε σημειώσει με σημαίες – για να διακρίνονται - τα μικρά ελληνικά νησιά Γαύδο (νότια της Κρήτης) και Στρογγυλή (ανατολικά της Ρόδου, δίπλα στο Καστελλόριζο) που αποτελούν το νοτιότερο και το ανατολικότερο σημείο της Ελλάδας αντίστοιχα. Μπορείτε να εξετάσετε το ρόλο των απομακρυσμένων αυτών νησιών στη διαμόρφωση της ελληνικής ΑΟΖ.

### Οδηγίες

Βήμα 1: Επιλέξτε σημεία A, B, C ... στις παράκτιες περιοχές που σας ενδιαφέρουν, αρκετά πυκνά ώστε να ορίζουν την ακτογραμμή.
Βήμα 2: Στη γραμμή εντολών (Input) να εισάγετε την εντολή Voronoi(A,B,C,…) συμπληρώνοντας όλα τα σημεία που επιλέξατε. (Προσοχή: Όταν το Geogebra θα εξαντλήσει το λατινικό αλφάβητο, θα αρχίσει να βάζει δείκτες στα ονόματα των σημείων: Α_1,Β_1,… Στη γραμμή των εντολών, ο δείκτης δηλώνεται με κάτω παύλα: Α_1, Β_1,…)
Θα σας βοηθήσει, να δείτε πρώτα το βίντεο.