Οι Ορισμοί των Στοιχείων

α΄ [1]. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.

Σημείο είναι ό,τι δεν μπορεί να χωριστεί σε μικρότερα μέρη.

β΄ [2]. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.

Γραμμή είναι ό,τι έχει μήκος, αλλά όχι πλάτος.

γ΄ [3]. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.

Τα άκρα κάθε γραμμής είναι σημεία.

δ΄ [4]. Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.

Ευθεία είναι η γραμμή που κείτεται εξίσου ως προς τα σημεία της.¹

ε΄ [5]. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.

Επιφάνεια είναι ό,τι έχει μόνο μήκος και πλάτος.

ς΄ [6]. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.

Κάθε επιφάνεια έχει άκρα γραμμές.

ζ΄ [7]. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ' ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται.

Επίπεδη επιφάνεια είναι εκείνη που κείτεται εξίσου ως προς τις ευθείες της.

η΄ [8]. Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ᾿ εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.

Επίπεδη γωνία είναι η κλίση πάνω σε ένα επίπεδο μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών που δεν βρίσκονται και οι δύο πάνω σε μια ευθεία.

θ΄ [9]. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία.

Όταν δε οι γραμμές που περιέχουν τη γωνία είναι ευθείες, η γωνία λέγεται ευθύγραμμη.

ι΄ [10]. Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ' ἣν ἐφέστηκεν.

Όταν ευθεία στέκεται ορθά πάνω σε άλλη ευθεία, οι εφεξής γωνίες που σχηματίζονται ονομάζονται ορθές γωνίες. Η δε ευθεία που στέκεται ορθά πάνω στην άλλη ονομάζεται κάθετος σε αυτή στην οποία στέκεται.

ια΄ [11]. Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς.

Αμβλεία είναι η γωνία που είναι μεγαλύτερη από την ορθή.

ιβ΄ [12]. Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.

Οξεία είναι η γωνία που είναι μικρότερη από την ορθή.

ιγ΄ [13]. Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.

Σύνορο είναι ό,τι είναι άκρο σε κάτι.

ιδ΄ [14]. Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.

Σχήμα είναι ο,τιδήποτε περιέχεται ανάμεσα σε σύνορα.

ιε΄ [15]. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

Ο κύκλος είναι ένα επίπεδο σχήμα που περικλείεται από μια γραμμή (που λέγεται περιφέρεια) για την οποία υπάρχει ένα σημείο μέσα στο σχήμα από όπου κάθε δύο ευθύγραμμα τμήματα με το ένα άκρο στο σημείο αυτό και το άλλο άκρο στην περιφέρεια είναι ίσα.

ις΄ [16]. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.

Αυτό το σημείο λέγεται κέντρο του κύκλου.

ιζ΄ [17]. Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.

Διάμετρος του κύκλου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που περνάει από το κέντρο και έχει άκρα στην περιφέρεια του κύκλου και το οποίο χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη.

ιη΄ [18]. Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ' αὐτῆς περιφερείας. κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν.

Ημικύκλιο είναι το περιεχόμενο σχήμα ανάμεσα στη διάμετρο και στο τμήμα της περιφέρειας που αποκόπτει. Ονομάζουμε κέντρο του ημικυκλίου το κέντρο του κύκλου.

ιθ΄ [19]. Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα.

Ευθύγραμμα σχήματα ονομάζουμε τα σχήματα που περιέχονται σε ευθείες. Αν περιέχονται σε τρεις ευθείες τα λέμε τρίπλευρα, αν περιέχονται σε τέσσερις ευθείες τετράπλευρα, και αν σε περισσότερες ευθείες πολύπλευρα.

κ΄ [20]. Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς.

Από τα τρίπλευρα σχήματα ονομάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο εκείνο που έχει τρεις ίσες πλευρές, ισοσκελές τρίγωνο εκείνο που έχει δύο πλευρές ίσες και σκαληνό τρίγωνο εκείνο που έχει και τις τρεις πλευρές άνισες.

κα΄ [21]. Ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.

Από τα τρίπλευρα σχήματα ορθογώνιο τρίγωνο είναι αυτό που έχει ορθή γωνία, αμβλυγώνιο αυτό που έχει αμβλεία γωνία και οξυγώνιο αυτό που έχει τρεις οξείες γωνίες.

κβ΄ [22]. Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον: τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω.

Από τα τετράπλευρα σχήματα τετράγωνο είναι αυτό που είναι ισόπλευρο και ορθογώνιο, ετερόμηκες είναι το ορθογώνιο που δεν είναι ισόπλευρο, ρόμβος είναι το ισόπλευρο που δεν είναι ορθογώνιο και ρομβοειδές είναι αυτό που έχει τις απέναντι πλευρές και γωνίες αντίστοιχα ίσες και δεν είναι ούτε ισόπλευρο ούτε ορθογώνιο. Τα υπόλοιπα τετράπλευρα λέγονται τραπέζια.

κγ΄ [23]. Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.

Παράλληλες είναι οι ευθείες του ίδιου επιπέδου που προεκτεινόμενες επ’ άπειρον και προς τις δύο κατευθύνσεις δεν συναντά η μία την άλλη.

(Απόδοση στα νέα ελληνικά:

Νίκος Ροκοπάνος, Στέλλα Σακελλάρη, Αντώνης Τσολομύτης)