Ιστορικό σημείωμα

Η ανακάλυψη της παράδοξης τετραγωνικής ρίζας του 2 και το πρόβλημα της ασυμμετρίας

Στη Δευτέρα Γυμνασίου θα μιλήσουμε μεταξύ άλλων και για την περίεργη τετραγωνική ρίζα του 2 που είναι ο λόγος της διαγωνίου ενός τετραγώνου προς την πλευρά του.

Το ενοχλητικό εύρημα ήταν ένα νέο είδος αριθμών, τους οποίους σήμερα ονομάζουμε άρρητους. Οι άρρητοι αριθμοί δεν προκύπτουν από τη διαίρεση δύο ακέραιων αριθμών. Το χαρακτηριστικό του άρρητου αριθμού είναι ότι παραμένει πεισματικά ανολοκλήρωτος, ό,τι κι αν συμβεί. Η τετραγωνική ρίζα του τετράγωνου αριθμού 4, που γράφεται συμβολικά \( \sqrt{4} \) είναι το καθαρό και ήρεμο 2. Επίσης για την τετραγωνική ρίζα του τετράγωνου αριθμού 9 ισχύει \( \sqrt{9} \) = 3. Όμως μια άρρητη τετραγωνική ρίζα μάς δίνει έναν απειροψήφιο δεκαδικό αριθμό με ατέλειωτη σειρά, χωρίς καμία περιοδική επανάληψη των ψηφίων μετά το κόμμα. Για την τετραγωνική ρίζα του 2 έχουμε \( \sqrt{2} \) = 1,41421...

που είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε, καθώς απουσιάζουν επαναλαμβανόμενα μοτίβα. Έτσι, η προηγούμενη απειροψήφια δεκαδική αναπαράσταση δεν μας παρέχει την πλήρη εικόνα του άρρητου αριθμού. Το πιο εκνευριστικό όμως για μια νοικοκυρεμένη σκέψη είναι ότι οι άρρητες τετραγωνικές ρίζες προβάλλουν ξαφνικά ξεπηδώντας στην τύχη με ακανόνιστη συχνότητα.

Το ορθογώνιο τρίγωνο μας δίνει ένα παραστατικό παράδειγμα. Αν οι δύο κάθετες πλευρές έχουν μήκη 3 και 4 μονάδες, τότε η υποτείνουσα σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα θα είναι ίση με 5 μονάδες. Όμως, τέτοιοι απλοί συνδυασμοί σπανίζουν. Μεταξύ των «τέλειων» ορθογωνίων τριγώνων παρεμβάλλεται ένας μεγάλος αριθμός «ατελών», με πλευρές π. χ. 1−1− \( \sqrt{2} \) , 2−2−\( \sqrt{8} \) ή 1−2− \( \sqrt{5} \).

Παραδειγματικό Σχήμα

Η θαυμαστή ανακάλυψη των άρρητων αριθμών έχει συνδεθεί με το όνομα του Ίππασου, μαθητή του Πυθαγόρα. Μια μέρα ο Ίππασος κατασκεύασε ένα τετράγωνο με πλευρά ΑΒ ίση με μία μονάδα μήκους και με αυτήν επιχείρησε να «μετρήσει» το μήκος της διαγωνίου ΑΓ. Στο διπλανό σχήμα η διαγώνιος AΓ του μικρού τετραγώνου είναι πλευρά του μεγάλου τετραγώνου. Ο Ίππασος διαπίστωσε ότι η διαγώνιος ΑΓ, με οποιαδήποτε γνωστή μονάδα κι αν μετρηθεί δεν βγαίνει ακριβώς. Μόλις είχε ανακαλύψει τους άρρητους αριθμούς. Η πλευρά ΑΒ και η διαγώνιος ΑΓ του τετραγώνου δεν έχουν καμία κοινή μονάδα μέτρησης: είναι «ασύμμετρες». Με άλλα λόγια δεν υπάρχει κανένα κλάσμα του οποίου το τετράγωνο να είναι ίσο με 2. Ενώ η πλευρά ΑΒ είναι ακριβής και εκφράζεται με μία μονάδα μήκους η διαγώνιος είναι ίση με \(\sqrt2\). Είναι παράδοξο και ανεξήγητο να υπάρχουν τέτοια γεωμετρικά μεγέθη τα οποία, ενώ είναι αντιληπτά μέσω της εποπτείας, αρνούνται να υποταχτούν στον αριθμητικό λογισμό.

Αρχαίοι Έλληνες
ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΟΥ ΡΑΦΑΗΛ "ΣΧΟΛΗ ΤΩΝ ΑΘΗΝΩΝ"

Η ανακάλυψη των «ασύμμετρων αριθμών», η οποία ξεκίνησε με την κακορίζικη τετραγωνική ρίζα του 2, ήταν μια ρηξικέλευθη τομή που αποδίδεται στους Πυθαγόρειους φιλοσόφους και τοποθετείται κατά προσέγγιση στα μέσα του 5ου αιώνα π.Χ. Όπως είναι γνωστό οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι λόγοι των αποστάσεων μεταξύ των διακριτών ψηφίδων είναι λόγοι ακέραιων αριθμών. Όταν ανακάλυψαν αυτούς τους περίεργους και ανεξήγητους αριθμούς, τρόμαξαν τόσο πολύ, που τους είπαν «άρρητους», δηλαδή αριθμούς «που δεν μπορούν να ειπωθούν», «δεν έχουν λόγο» ή «παράλογους». Θεώρησαν μάλιστα ότι η ανακάλυψη ήταν ανησυχητική και έπρεπε να παραμείνει μυστική, δηλαδή ότι αυτοί οι άρρητοι αριθμοί «δεν πρέπει να ειπωθούν». Η αποκάλυψή τους ανέτρεψε τις πυθαγόρειες πεποιθήσεις για τον αριθμό και συγκλόνισε την πορεία της ελληνικής μαθηματικής σκέψης.

Στο εξής οι αρχαίοι Έλληνες ξεπέρασαν την κρίση επιδεικνύοντας νέα επιτεύγματα μαθηματικής δημιουργίας. Αντικατέστησαν τις διακριτές ψηφίδες με ευθύγραμμα τμήματα και έστρεψαν το ενδιαφέρον τους στην ανάπτυξη της Γεωμετρίας. Μεγάλοι μαθηματικοί όπως ο Θεαίτητος, ο Εύδοξος, ο Ευκλείδης και ο Θεόδωρος μελέτησαν διεξοδικά τους άρρητους. Κατάφεραν μάλιστα να κατασκευάσουν πολλούς άρρητους αριθμούς όπως είναι ο \(\sqrt2\) και ο \(\sqrt3\) , φτάνοντας μέχρι τον Ο \(\sqrt{17}\). Ο άρρητος αριθμός, ως δεκαδικός μη περιοδικός, ορίστηκε το 1886 (Otto Stolz), ενώ το 1696 είχε οριστεί ο ρητός ως δεκαδικός περιοδικός (John Wallis). Έπρεπε να φτάσουμε σχεδόν στο 2000 για να θεωρούνται οι άρρητοι ως αριθμοί.

Στη Δευτέρα Γυμνασίου γίνεται μόνο μια πρώτη γνωριμία με τους άρρητους αριθμούς. Το συναρπαστικό ταξίδι της μάθησης συνεχίζεται στην Τρίτη Γυμνασίου καθώς και στο Λύκειο.

Ερωτήματα για περαιτέρω σκέψη και διερεύνηση

α) Το κείμενο αναφέρει ότι οι Πυθαγόρειοι τρομοκρατήθηκαν από την ανακάλυψη των άρρητων αριθμών και τους κράτησαν μυστικούς. Πιστεύετε ότι αυτή η αντίδραση ήταν δικαιολογημένη; Πώς θα μπορούσε η απόκρυψη αυτής της γνώσης να επηρεάσει την εξέλιξη των μαθηματικών ή άλλων επιστημών, και γιατί;

β) Η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών οδήγησε τους αρχαίους Έλληνες να στραφούν περισσότερο στη Γεωμετρία. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί η Γεωμετρία αποτέλεσε μια λύση ή έναν τρόπο να αντιμετωπίσουν την "κρίση" που προκάλεσε η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών; Μπορείτε να αναφέρετε συγκεκριμένα παραδείγματα από το κείμενο που να υποστηρίζουν την άποψή σας;

Βιβλιογραφία

  • Fischbein, E., Jehiam, R., & Cohen, D. (1995). The concept of irrational numbers in high-school students and prospective teachers. Educational Studies in Mathematics, 29(1), 29–44.
  • Heath, T. L. (Ed.). (1956). The thirteen books of Euclid's Elements. Courier Corporation.
  • Κόσυβας, Γ. (2014). Αριθμητική προσέγγιση ή γεωμετρική ακρίβεια; Αυθόρμητες αντιλήψεις δωδεκάχρονων που αγγίζουν την αρρητότητα, Έρευνα στη Διδακτική των Μαθηματικών, 7, 11-50, Αθήνα: ΕΝΕΔΙΜ.
  • Niven, I. (2005). Irrational numbers (No. 11). Cambridge University Press.
  • Shiver, J., & Klosterman, P. (2022). Making irrational numbers real. Middle School Journal, 53(1), 36-42.
  • Sirotic, N., & Zazkis, R. (2007). Irrational numbers: The gap between formal and intuitive knowledge. Educational Studies in Mathematics, 65(1), 49–76.
  • Επιστημονική Βιβλιοθήκη Λάιφ (1976). Μαθηματικά, Λύκειος Απόλλων.
  • Σταμάτης Ε. (1975). Ευκλείδου Γεωμετρία, Στοιχεία, Βιβλία 1,2,3,4. Τόμος 1. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών βιβλίων.
  • Χριστιανίδης Γ. (2003). Θέματα από την Ιστορία των Μαθηματικών. Αιγυπτιακά, Βαβυλωνιακά και Ελληνικά Μαθηματικά. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.