Ιστορικό σημείωμα

Αν άρχιζα τις σπουδές μου, θα ακολουθούσα τις συμβουλές του Πλάτωνα και θα ξεκινούσα με τα Μαθηματικά. -Γαλιλαίος

Η Αριθμητική εξερευνά τους κανόνες των αριθμών. Η Άλγεβρα είναι γενίκευση της Αριθμητικής και εξετάζει τους γενικούς της κανόνες. Η Γεωμετρία και η Τριγωνομετρία εξετάζουν τους γενικούς κανόνες των σχημάτων.

Η κατασκευή του πιο διάσημου κτηρίου της Αθήνας, του Παρθενώνα, απαιτούσε πολύ υψηλό επίπεδο Μαθηματικών για να γίνει πράξη ένα τέτοιο έργο τέχνης.

Ο Θαλής ο Μιλήσιος (624 π.Χ.-546 π.Χ) ήταν μαθηματικός και θεμελιωτής της Γεωμετρίας και της Αστρονομίας. Ήταν ένας από τους επτά σοφούς της αρχαίας Ελλάδας. Θεωρείται ως ο πρώτος φιλόσοφος στην ιστορία της Δύσης.

Ανήκει στους φυσικούς φιλοσόφους, αυτούς δηλαδή που αναζητούσαν να βρουν την πρώτη ουσία του κόσμου, την αιτία που τον γεννά. Θεωρούσε ότι το νερό είναι η θεμελιώδης ουσία του σύμπαντος. Ανακάλυψε το ημερολόγιο των 365 ημερών και υπολόγισε τις ημερομηνίες των εκλείψεων του Ήλιου και της Σελήνης. Ταξίδεψε στην Αίγυπτο, όπου μελέτησε Μαθηματικά, Γεωμετρία και Αστρονομία. Ο Θαλής κέρδισε μάλιστα τον θαυμασμό των Αιγυπτίων υπολογίζοντας το ύψος των πυραμίδων, βασιζόμενος στο μήκος της σκιάς τους και της σκιάς μιας ράβδου που κάρφωνε στο έδαφος. Πρόβλεψε μια έκλειψη Ηλίου προκαλώντας τον θαυμασμό των συγχρόνων του το 585. Επίσης θεωρείται ο πρωτοπόρος της ανακάλυψης του ηλεκτρισμού, γιατί παρατήρησε ότι όταν το ήλεκτρο όταν τρίβεται, αποκτά την ιδιότητα να έλκει προς το μέρος του μικρά αντικείμενα, όπως μαλλί, τρίχες κ. ά. Ο Θαλής θεωρείται ο ιδρυτής της Ιωνικής σχολής, ο πρώτος που δίδαξε την επιστημονική σκέψη διαχωρίζοντας τη Φιλοσοφία από τη Θρησκεία και ερμηνεύοντας τον κόσμο και τα φαινόμενα του με τη λογική. Σε αυτόν αποδίδονται πολλά γνωμικά, όπως το περίφημο «Γνώθι σαυτόν».

Εισήγαγε την έννοια της απαγωγικής (παραγωγικής) λογικής στη Γεωμετρία. Γνωστό είναι το Θεώρημα του Θαλή που αναφέρει:

όταν παράλληλες ευθείες τέμνονται από δύο άλλες ευθείες τότε τα τμήματα μεταξύ των παραλλήλων που ορίζονται στη μια τέμνουσα, είναι ανάλογα.

Στον Θαλή αποδίδονται από τους αρχαίους συγγραφείς πέντε ακόμα αποδείξεις γεωμετρικών προτάσεων, οι οποίες είναι οι ακόλουθες:

• Η διάμετρος κύκλου διχοτομεί τον κύκλο.
• Οι κατά κορυφήν γωνίες είναι ίσες.
• Οι προσκείμενες γωνίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.
• Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες, είναι ίσα μεταξύ τους (Κριτήριο ισότητας τριγώνων Γ-Π-Γ).
• Η εγγεγραμμένη σε ημιπεριφέρεια γωνία είναι ορθή.

Το όνομά του συνδέθηκε με τη μελέτη των αριθμών, της Αστρονομίας και της Μουσικής. Τόνισε τη σημασία των αριθμών και των μαθηματικών σχέσεων για την κατανόηση του σύμπαντος. Πρωτοστάτησε σε μία ομάδα μαθηματικών και ασχολήθηκε κυρίως με τη Γεωμετρία. Η Θεανώ, ήταν σύζυγος του Πυθαγόρα και η πρώτη γυναίκα που ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά. Υπάρχουν τεκμήρια του 4ου αιώνα π.Χ., που ενισχύουν την εκδοχή ότι είχε ανακαλύψει ο ίδιος ο Πυθαγόρας το ομώνυμο γεωμετρικό Θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο «σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας (της πλευράς απέναντι από την ορθή γωνία) είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών» (α² + β² = γ²).

Οι αρχές του Κρότωνα, επειδή ο Πυθαγόρας ήταν κατά της δουλείας, τον παρέπεμψαν σε δίκη, όπου αθωώθηκε αλλά οι διώξεις εναντίον του δεν σταμάτησαν. Λέγεται, ότι σκοτώθηκε γύρω στο 500 π.Χ., όταν οι αντίπαλοι του έκαψαν τη σχολή του και ο ίδιος κάηκε μαζί με αρκετούς από τους μαθητές του.

Η συμβολή του Δημόκριτου στα Μαθηματικά ήταν καθοριστική. Ο Αρχιμήδης υπήρξε σπουδαίος μελετητής του έργου του και από αυτόν έχουμε τη μαρτυρία για τη διατύπωση του δημοκρίτειου ερωτήματος σχετικά με τους όγκους του πρίσματος, του κώνου, του κυλίνδρου και της πυραμίδας. Το ερώτημα του Δημόκριτου αποτελεί την πρώτη σύλληψη της έννοιας των απειροστών στην ιστορία των Μαθηματικών. Ο Δημόκριτος, εκτός από την Ηθική, τη Φιλοσοφία και τα Μαθηματικά ασχολήθηκε επίσης με την Ιατρική και τη Ζωγραφική. Συχνά αποκαλείται "Γελών Φιλόσοφος" για την έμφασή του στη χαρούμενη στάση της ζωής.

Ο Ευκλείδης (325 π.Χ.-265 π.Χ.) ήταν Έλληνας, μαθηματικός, θεμελιωτής της Γεωμετρίας. Για τη ζωή του δεν είναι γνωστά πολλά, αλλά φαίνεται να έζησε στην Αλεξάνδρεια κατά την εποχή του Πτολεμαίου Α΄, ο οποίος τον τιμούσε ιδιαίτερα. Ίδρυσε στην Αλεξάνδρεια ένα ίδρυμα που θα ονομάζαμε Πανεπιστήμιο. Το μνημειώδες έργο του Στοιχεία, το οποίο αποτελείται από 13 βιβλία, είναι το πρώτο παράδειγμα αξιωματικής θεμελίωσης ενός επιστημονικού κλάδου. Σε αυτό ο Ευκλείδης εξέδωσε ό,τι παρήγαγε η ελληνική επιστήμη στη Γεωμετρία και τη Θεωρία Αριθμών επί σειρά αιώνων, με αυστηρή και συστηματική διατύπωση. Τα Στοιχεία ήταν το κύριο εγχειρίδιο σε σχολεία και πανεπιστήμια για περίπου 2000 χρόνια. Το έργο του παρείχε τα θεμέλια για την Ευκλείδεια Γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένων των εννοιών σημείων, γραμμών, επιπέδων και γωνιών. Επηρέασε τη διδασκαλία και τη μάθηση των Μαθηματικών για αιώνες.

Θεμελίωσε ένα αυστηρά δομημένο και συνεκτικό σύστημα προτάσεων θεωρημάτων και πορισμάτων) με βάση ένα σύνολο ορισμών, κοινών εννοιών και 5 μόνο αρχικών αναπόδεικτων προτάσεων (αιτήματα). Έγραψε και πολλά άλλα έργα, όπως «Οπτικά», «Πορίσματα», Περί κωνικών τομών», «Κατοπτρικά». Πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Ο Πρόκλος αναφέρει πως κάποτε ο Πτολεμαίος ρώτησε τον Ευκλείδη αν υπάρχει τρόπος να μάθει τη Γεωμετρία συντομότερα, από το να μελετήσει το βιβλίο του, και αυτός απάντησε το περίφημο «Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί γεωμετρία», δηλαδή δεν υπάρχει βασιλική οδός προς την Γεωμετρία.

Ο Αρχιμήδης (287 π.Χ.-212 π.Χ.) γίνεται αποδεκτός σήμερα ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός, επιστήμονας και ερευνητής όλων των εποχών. Γεννήθηκε στις Συρακούσες. Ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά, τη Φυσική, τη Χημεία, τη Μηχανική και την Αστρονομία. Ο Αρχιμήδης έκανε σημαντικές ανακαλύψεις στη Στερεομετρία, κυρίως στον υπολογισμό εμβαδών και όγκων. Απέδειξε ότι η επιφάνεια μιας σφαίρας είναι τετραπλάσια της επιφάνειας του μεγίστου κύκλου της. Επιπλέον, απέδειξε ότι ο όγκος μιας σφαίρας είναι τα δύο τρίτα του όγκου του κυλίνδρου που την περιέχει (σφαίρα εντός κυλίνδρου). Ο Αρχιμήδης ανέπτυξε μεθόδους για τον υπολογισμό του όγκου ενός κώνου, δείχνοντας ότι ο όγκος ενός κώνου είναι το ένα τρίτο του όγκου του κυλίνδρου που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Ανέπτυξε, επίσης, πρώιμες έννοιες του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού και των απειροστών.

Βρισκόταν τόσο μπροστά από την εποχή του που οι άλλοι αδυνατούσαν να κατανοήσουν τις ιδέες του. Ανακάλυψε τις τροχαλίες και τους μοχλούς («Δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω»=«Δώσε μου μέρος να σταθώ και θα κινήσω τη Γη»), αποδεικνύοντας ότι χρησιμοποιώντας ελάχιστη δύναμη είναι δυνατόν να μετακινήσουμε πολύ βαριά αντικείμενα. Διατύπωσε τους νόμους της διάθλασης του φωτός. Άλλη ανακάλυψή του είναι η αρχή της Υδροστατικής άνωσης: «Κάθε σώμα που βυθίζεται σε ένα υγρό, δέχεται άνωση, ίση με το βάρος του υγρού που εκτοπίζει» (Αρχή του Αρχιμήδη). Λέγεται ότι την ανακάλυψη αυτή την έκανε στο μπάνιο και από τη χαρά του βγήκε στους δρόμους γυμνός φωνάζοντας «Εύρηκα».

Όταν οι Ρωμαίοι πολιόρκησαν τις Συρακούσες, ο Αρχιμήδης βοήθησε με τις εφευρέσεις του τους συμπατριώτες του να αμυνθούν στις ανώτερες ρωμαϊκές δυνάμεις, συγκεντρώνοντας τις ακτίνες του ήλιου πάνω σε κοίλα κάτοπτρα ή κατασκευάζοντας μεγάλους γάντζους που κατέστρεφαν τα ρωμαϊκά πλοία. Ο Πλούταρχος αναφέρει πως ο Αρχιμήδης κατασκεύασε και άλλες πολεμικές μηχανές, η φήμη του απλώθηκε τόσο πολύ, ώστε τον θεωρούσαν σχεδόν θαυματοποιό. Σκοτώθηκε από Ρωμαίο στρατιώτη με την πτώση των Συρακουσών το 212 π.Χ, όταν είπε προς αυτόν το περίφημο «Μη μου τους κύκλους τάραττε».

Το έργο του έθεσε τα θεμέλια για την ανάπτυξη της Αναλυτικής Γεωμετρίας και επηρέασε το έργο των μετέπειτα επιστημόνων όπως του Κέπλερ και του Νεύτωνα. Είναι αξιοθαύμαστο ότι παρ’ όλο που ο Απολλώνιος εργάστηκε με στοιχειώδεις γεωμετρικές μεθόδους και χωρίς γνώσεις άλγεβρας, παρήγαγε για τις κωνικές τομές, εξισώσεις ταυτόσημες με αυτές της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Με άλλα λόγια, οι Καρτεσιανές εξισώσεις της σύγχρονης Γεωμετρίας παράγονται από τα συμπεράσματα του Απολλώνιου.

Αυτοί οι αρχαίοι Έλληνες σοφοί έθεσαν τα θεμέλια για τις μελλοντικές εξελίξεις στην επιστήμη, τα Μαθηματικά και τη Φιλοσοφία.

Ερωτήματα για περαιτέρω σκέψη και διερεύνηση

α) Με βάση το κείμενο, πώς θα περιγράφατε τη σημασία των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών και φιλοσόφων (όπως ο Θαλής, ο Πυθαγόρας, ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης και ο Απολλώνιος) στην εξέλιξη της επιστήμης; Ποια από τις ανακαλύψεις ή τις συνεισφορές τους σάς εντυπωσίασε περισσότερο και γιατί;

β) Το κείμενο αναφέρει ότι η Γεωμετρία και η Τριγωνομετρία εξετάζουν τους "γενικούς κανόνες των σχημάτων", ενώ η Αριθμητική και η Άλγεβρα ασχολούνται με τους αριθμούς. Πώς πιστεύετε ότι αυτές οι διαφορετικές περιοχές των Μαθηματικών αλληλοσυνδέονται και αλληλοσυμπληρώνονται για να μας δώσουν μια πιο ολοκληρωμένη κατανόηση του κόσμου; Μπορείτε να σκεφτείτε ένα παράδειγμα από την καθημερινότητά σας όπου χρησιμοποιούνται συνδυαστικά;

γ) Ο Πλούταρχος αναφέρει ότι ο Αρχιμήδης έλεγε: «Δος μοι που στω και ταν γαν κινάσω» («Δώσε μου μέρος να σταθώ και θα κινήσω τη Γη»). Τι σημαίνει αυτή η φράση για τη δύναμη των μαθηματικών αρχών και της φυσικής; Πώς συνδέεται αυτή η δήλωση με το γεγονός ότι οι αρχαίοι Έλληνες «έθεσαν τα θεμέλια για τις μελλοντικές εξελίξεις στην επιστήμη»;

Βιβλιογραφία

• Apollonius of Perga. (1998). Conics Books I-III (G. J. Toomer, Trans.). Green Lion Press.
• Barnes, J. (1987). Early Greek Philosophy. Penguin Classics.
• Clagett, M. (1970). Archimedes in the Middle Ages. University of Wisconsin Press.
• Euclid. (1956). The Thirteen Books of the Elements (T. L. Heath, Trans.). Dover Publications.
• Fried, M. N., & Unguru, S. (2001). Apollonius of Perga's Conica: Text, Context, Subtext. Brill Academic Publishers.
• Clagett, M. (1970). Archimedes in the Middle Ages. University of Wisconsin Press.
• Guthrie, W. K. C. (1978). A History of Greek Philosophy, Volume 1: The Earlier Presocratics and the Pythagoreans. Cambridge University Press.
• Kahn, C. H. (2001). Pythagoras and the Pythagoreans: A Brief History. Hackett Publishing Company.
• Katz, V. (2004). A history of Mathematics. Pearson.
• Kirk, G. S., Raven, J. E., & Schofield, M. (1983). The Presocratic Philosophers. Cambridge University Press.
• Mueller, I. (1981). Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements. MIT Press.
• Netz, R., & Noel, W. (2007). The Archimedes Codex: Revealing the Secrets of the World's Greatest Palimpsest. Da Capo Press.
• Russell, B. (1945). A History of Western Philosophy. Simon & Schuster.
• Taylor, C. C. W. (1999). The Atomists: Leucippus and Democritus: Fragments. University of Toronto Press.
• Χριστιανίδης Γ. (2003). Θέματα από την Ιστορία των Μαθηματικών. Αιγυπτιακά, Βαβυλωνιακά και Ελληνικά Μαθηματικά. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.