Ιστορικό σημείωμα
Ο Αρχιμήδης (287 π.Χ.-212 π.Χ.) είναι ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς και φυσικούς όλων των εποχών. Ο Ψαμμίτης, είναι ένα έργο που γράφτηκε από τον Αρχιμήδη τον 3ο αιώνα π.Χ. Το εν λόγω έργο είναι γνωστό και ως "Η Αρίθμηση της Άμμου" (Αριθμητικά). Σε αυτό το έργο, ο Αρχιμήδης ασχολείται με τον υπολογισμό του αριθμού των κόκκων άμμου που θα χρειαζόταν για να γεμίσει το σύμπαν. Το έργο έχει ιδιαίτερη σημασία διότι παρουσιάζει τη χρήση της εκθετικής γραφής και τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης χειρίστηκε μεγάλους αριθμούς, δείχνοντας την ικανότητά του να σκεφτεί πέρα από τα συνηθισμένα όρια των μαθηματικών της εποχής του.
Για την παράσταση πολύ μεγάλων αριθμών, ο Αρχιμήδης εισήγαγε μια μέθοδο, η οποία θεωρείται προάγγελος της σύγχρονης εκθετικής σημειογραφίας. Πιο συγκεκριμένα, στο έργο του Ψαμμίτης, ο Αρχιμήδης, προκειμένου να απαριθμήσει τους κόκκους της άμμου επινόησε ένα σύστημα ονομασίας μεγάλων αριθμών, ξεκινώντας από τον μεγαλύτερο αριθμό εκείνης της εποχής, τη μυριάδα μυριάδων. Η μυριάδα ισούται με 10.000, συνεπώς η μυριάδα μυριάδων ισούται με 10.000×10.000=100.000.000 ή σε εκθετική μορφή \( 10^8 \). Το σύστημα μέτρησης του Αρχιμήδη φτάνει μέχρι το $$ 10^{(10 \times 8)^{16}} = 10^{{8000000000000000}} $$ το οποίο είναι μία μυριάδα μυριάδων στη μυριοστή μυριάδα και όλο στη μυριοστή μυριάδα. Χωρίς δυνάμεις ο αριθμός αυτός είναι: μία μονάδα που ακολουθείται από 80 τετράκις εκατομμύρια μηδενικά. Για να έχουμε μια αίσθηση του μεγέθους αυτού του αριθμού αρκεί να σκεφτούμε ότι το σύνολο των στοιχειωδών σωματιδίων (πρωτονίων και ηλεκτρονίων) του σύμπαντος υπολογίζεται μεταξύ \( 10^{70} \) και \( 10^{85} \).
Tον 20ο αιώνα, ο Αμερικανός μαθηματικός Edward Kasner, δημιούργησε τον αριθμό googol, για να εκφράσει πολύ μεγάλους αριθμούς. Ο αριθμός googol ισούται με \(10^{100}\).
Να συγκρίνετε τον αριθμό του Αρχιμήδη με τον αριθμό googol.
Ερωτήματα για περαιτέρω σκέψη και διερεύνηση
α) Ο Αρχιμήδης, στο έργο του «Ψαμμίτης», αντιμετωπίζει ένα φαινομενικά «ακατόρθωτο» πρόβλημα: τον υπολογισμό των κόκκων άμμου στο σύμπαν. Πώς πιστεύετε ότι η ικανότητα να σκέφτεται "πέρα από τα συνηθισμένα όρια" των μαθηματικών της εποχής του, τον βοήθησε να δημιουργήσει ένα τόσο καινοτόμο σύστημα αριθμών;
β) Το κείμενο αναφέρει ότι η μέθοδος του Αρχιμήδη για την παράσταση πολύ μεγάλων αριθμών «θεωρείται προάγγελος της σύγχρονης εκθετικής σημειογραφίας». Πώς αυτή η αρχαία ιδέα επηρέασε ή προετοίμασε το έδαφος για τον τρόπο που χρησιμοποιούμε τις δυνάμεις του 10 σήμερα, για να εκφράζουμε τόσο μικρούς όσο και πολύ μεγάλους αριθμούς στην επιστήμη και την τεχνολογία;
Βιβλιογραφία
- Dijksterhuis, E. J. (2014). Archimedes (Vol. 784). Princeton University Press.
- Heath, T. L. (2002). The works of Archimedes. Courier Corporation.
- Katz, V. (2004). A history of Mathematics. Pearson.
- Netz, R. (2004). The works of Archimedes. Cambridge Univ. Press.
- Struik, D. (1982). Συνοπτική Ιστορία των Μαθηματικών. Ι. Ζαχαρόπουλος: Αθήνα.
- Φίλη, Χ.(1985). Πυθαγόρας, Αρχιμήδης και ινδικές μαθηματικές θεωρίες, Φιλοσοφία, 15-16, 156-171.
- Χριστιανίδης Γ. (2003). Θέματα από την Ιστορία των Μαθηματικών. Αιγυπτιακά, Βαβυλωνιακά και Ελληνικά Μαθηματικά. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.