Ιστορικό Σημείωμα

Ο αλγεβρικός συμβολισμός που χρησιμοποιείται σήμερα στα Μαθηματικά δεν υπήρχε πάντα. Από τον 16ο αιώνα και ύστερα οι μαθηματικοί αρχίζουν να χρησιμοποιούν σε ευρεία κλίμακα τα γράμματα για να εκφράσουν αριθμητικές ποσότητες. Θα σταθούμε στη συμβολή δύο κύριων θεμελιωτών της Άλγεβρας του François Viète και του René Descartes.

François Viète (1540–1603). Ήταν Γάλλος δικηγόρος που αφιέρωνε τον ελεύθερο χρόνο του στα Μαθηματικά. Έγραψε την «Εισαγωγή στην αναλυτική τέχνη», ένα από τα πρώτα άρτια συγγράμματα αλγεβρικού λογισμού. Ο Viète έκανε μαθηματικές πράξεις σε άγνωστα και γνωστά μεγέθη και βελτίωσε τη θεωρία των εξισώσεων. Η χρήση αριθμητικών συντελεστών είχε εμποδίσει τη μελέτη των αλγεβρικών προβλημάτων με γενικό τρόπο. Ο συμβολισμός που εισήγαγε ο François Viète ήταν γενικός. Εξέφρασε τους αριθμητικούς συντελεστές με γράμματα, εισήγαγε τα συνήθη πρόσημα + και – με τη σημερινή τους σημασία και σημείωσε τη διαίρεση με την κλασματική γραμμή. Κατά την περίοδο αυτή ο αλγεβρικός χειρισμός συνέβαλε στην υπέρβαση των κατακτήσεων του αραβικού κόσμου. Ο κατάλληλος συμβολισμός συνέβαλε στην πρόοδο της επιστήμης των Μαθηματικών. Εισήγαγε συστηματικά τον εγγράμματο συμβολισμό. Μαζί του γεννήθηκε η αλγεβρική γραφή. Ο Viète χρησιμοποίησε τα φωνήεντα A, E, 0, ... για να ορίσει τους αγνώστους και τα σύμφωνα B, C, D, . . . για τις γνωστές ποσότητες. Απλοποίησε επίσης τον αλγεβρικό συμβολισμό. Ωστόσο παραμένει ακόμα: «Α τετράγωνο» αντί \(Α^2\), «Α κύβος» αντί \(Α^3\), «Α τετράγωνο- τετράγωνο» αντί \(Α^4\), «ίσον» αντί για =, «A με B» αντί AxB.

Ο Viète προώθησε τις τεχνικές επίλυσης εξισώσεων όλων των ειδών. Ξεκίνησε από την πλήρη επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης στη συνέχεια, εστιάζοντας στην τριχοτόμηση της γωνίας, την επανάφερε στην ανάλυση της εξίσωσης 3ου βαθμού, την οποία έλυσε στη μορφή \(x^3+αx = β\), όπου οι α και β είναι θετικοί αριθμοί. Για αυτόν, οι αρνητικές ρίζες είναι ψευδείς ρίζες, αλλά αποδέχεται τις φανταστικές ρίζες που εφευρέθηκαν από τον Bombelli και διαισθάνεται το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας.

Στα 1615, ο François Viète εκθέτει με σαφήνεια τη μέθοδο που βρέθηκε από τον Ferrari, μαθητή του Cardano, για τη λύση εξισώσεων 4ου βαθμού με αναγωγή σε εξίσωση του τύπου \( x^4 + px^2 + qx + r = 0 \).

Ο Viète προχωρά πέρα από την απλή λύση εξισώσεων: παρατηρεί ότι υπάρχουν σχέσεις μεταξύ συντελεστών και ριζών μιας εξίσωσης. Για τον δεύτερο βαθμό, οι ρίζες \( x_1 \) και \( x_2 \) της εξίσωσης \( x^2 + px + q = 0 \) επαληθεύουν τις σχέσεις:

\( x_1 + x_2 = -p \) και \( x_1 x_2 = q \).

Για την εξίσωση 3ου βαθμού της μορφής \( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \), το άθροισμα των ριζών είναι \( -p \), το γινόμενό τους \( -r \), και το άθροισμα των γινομένων ανά δύο ισούται με \( q \).

Εν κατακλείδι η συνεισφορά του Viète ήταν πολλαπλή. Κατά βάση συστηματοποίησε τη χρήση γραμμάτων για την παράσταση ποσοτήτων.

René Descartes (1596 -1650). Ήταν Γάλλος φιλόσοφος και μαθηματικός. Τα Μαθηματικά ήταν κεντρικό θέμα στη μέθοδο έρευνάς του. Το έργο «La Géométrie» (Η Γεωμετρία) δημοσιεύτηκε το 1637 ως παράρτημα στο «Discours de la méthode» (Λόγος για τη Μέθοδο). Ο Descartes αναζητούσε μια γενική μέθοδο, η οποία θα ήταν πρόσφορη στις εφευρέσεις και θα συνέβαλε στην ανεύρεση της αλήθειας στις επιστήμες. Το έργο του «La Géométrie» παρέχει μία εφαρμογή της γενικής μεθόδου του για την ενοποίηση Άλγεβρας και Γεωμετρίας. Η συνεισφορά του συνίσταται στο άνοιγμα του δρόμου για τη δημιουργία ενός νέου κλάδου των Μαθηματικών, της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Οι απαρχές της βρίσκονται στις εργασίες των Ελλήνων γεωμετρών της Αλεξανδρινής περιόδου, όπως ο Απολλώνιος, ο Πτολεμαίος και ο Πάππος. Όμως η θεμελίωσή της οφείλεται στον Descartes, ο οποίος μετέφερε όλο το πεδίο της κλασικής γεωμετρίας στην οπτική των αλγεβριστών. Σήμερα η Αναλυτική Γεωμετρία είναι βασικός κλάδος του μαθηματικού στερεώματος με ποικίλες εφαρμογές στις επιστήμες του σύγχρονου κόσμου. Η Αναλυτική Γεωμετρία του επιπέδου και του χώρου συνδυάζει τον γεωμετρικό συλλογισμό της Ευκλείδειας Γεωμετρίας με τις αλγεβρικές μεθόδους.

Η μέθοδος των συντεταγμένων είναι η θεμελιώδης ανακάλυψη, που οφείλει την προέλευσή της στον Descartes και σηματοδότησε την ανάπτυξη των Μαθηματικών. Είναι η μέθοδος που μας επιτρέπει να ορίσουμε την ακριβή θέση ενός σημείου στο επίπεδο με διατεταγμένα ζεύγη από πραγματικούς αριθμούς ή άλλα σύμβολα. Προς τιμή του μιλούμε για καρτεσιανές συντεταγμένες και καρτεσιανό σύστημα. Μια ευθεία ή μια καμπύλη μπορούν να θεωρηθούν ως σημειοσύνολα, τα οποία βρίσκονται απείρως κοντά τοποθετημένα μεταξύ τους. Τα σημεία αυτά μπορούν να συσχετιστούν με τη βοήθεια μιας εξίσωσης, η οποία εξαρτάται από τη φύση της γραμμής. Η λύση γεωμετρικών προβλημάτων γίνεται με τη βοήθεια αλγεβρικών μεθόδων ή ακριβέστερα την αναγωγή τους σε προβλήματα της Άλγεβρας.

Το μεγαλύτερο επίτευγμα του Descartes έγκειται στο ότι εφάρμοσε με συνέπεια την καλά επεξεργασμένη Άλγεβρα του 16ου αιώνα στη γεωμετρική ανάλυση των αρχαίων με αποτέλεσμα την τεράστια διεύρυνση των δυνατοτήτων της εφαρμογής της Άλγεβρας. Πολλοί συμβολισμοί του είναι παρόμοιοι με τους σημερινούς. Στο βιβλίο του βρίσκονται εκφράσεις όπως \[\frac{1}{2}\alpha+\sqrt{\frac{1}{4}\alpha\alpha+\beta\beta}\]

Ένα μεγάλο μέρος του βιβλίου του πραγματεύεται θέματα αλγεβρικών εξισώσεων. Εισάγει επίσης την αλγεβρική σημειογραφία που χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα. Τα γράμματα στο τέλος του αλφαβήτου, δηλαδή, x, y, z κ.λπ. δηλώνουν άγνωστες μεταβλητές, ενώ εκείνα στην αρχή του αλφαβήτου, α, β, γ, κ.λπ. δηλώνουν σταθερές. Εισάγει τη σύγχρονη εκθετική σημειογραφία για τις δυνάμεις (εκτός από τα τετράγωνα, όπου κράτησε την παλαιότερη παράδοση να γράφει επαναλαμβανόμενα γράμματα, όπως, αα). Επίσης, διακόπτει την παράδοση της σύνδεσης των δυνάμεων με γεωμετρικά μεγέθη, π. χ. το \(α^2\) με το εμβαδόν, το \(α^3\) με τον όγκο και τα αντιμετωπίζει όλα ως πιθανά μήκη τμημάτων γραμμής.

Εν κατακλείδι, ο Descartes δημιούργησε μια αφηρημένη αλγεβρική γλώσσα που περιλαμβάνει τους συμβολισμούς που χρησιμοποιούνται σήμερα.

Βιβλιογραφία

• Katz, V. (2004). A history of Mathematics. Pearson.
• Klein, J. (1992). Greek mathematical thought and the origin of algebra. Courier Corporation.
• Struik, D. (1982). Συνοπτική Ιστορία των Μαθηματικών. Ι. Ζαχαρόπουλος: Αθήνα.