Ιστορικό σημείωμα
Ο Ευκλείδης (325 π.Χ. - 270 π.Χ.) ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε στην Αλεξάνδρεια και είναι ίσως ο πιο διάσημος δάσκαλος Μαθηματικών όλων των εποχών. Έγραψε το έργο με τίτλο «Στοιχεία», το οποίο ήταν βασικό διδακτικό εγχειρίδιο Γεωμετρίας για περίπου 2.000 χρόνια. Δείτε την πρόταση 4 του Βιβλίου 2:
Πρόταση: Αν ένα ευθύγραμμο τμήμα διαιρεθεί τυχαία από σημείο σε δύο τμήματα, το τετράγωνο του όλου τμήματος είναι ίσο με τα τετράγωνα των δύο τμημάτων και το διπλάσιο ορθογώνιο που ορίζουν τα δύο τμήματα.
Ο Ευκλείδης συνέδεσε την πρόταση αυτή με το ακόλουθο σχήμα:
Στο προηγούμενο σχήμα βλέπουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που διαιρείται από το εσωτερικό σημείο Γ σε δύο μικρότερα τμήματα. Το τετράγωνο του όλου είναι το μεγάλο τετράγωνο ΑΒΕΔ. Τα ευθύγραμμα τμήματα HK και ΓΖ, τα οποία είναι παράλληλα με τις AB και AΔ αντίστοιχα, τέμνουν τη διαγώνιο ΒΔ στο ίδιο σημείο (Θ).
Τα τετράγωνα που κατασκευάζονται από τα ευθύγραμμα τμήματα AΓ και BΓ είναι: το ΗΘΖΔ και το ΓΒΚΘ. Παρατηρούμε ότι με πλευρές τα ευθύγραμμα τμήματα AΓ και BΓ σχηματίζονται τα ίσα ορθογώνια παραλληλόγραμμα AΓΘH και ΘΚΕΖ.
Εύκολα παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου ΑΒΕΔ ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων ΗΘΖΔ και ΓΒΚΘ και των ορθογωνίων AΓΘH και ΘΚΕΖ. Καθένας μπορεί οπτικά να παρατηρήσει ότι: \[(\alpha+\beta)^{2}=\alpha^{2}+2\alpha\beta+\beta^{2}\]
Έτσι η πρόταση του Ευκλείδη εκφράζεται από την προηγούμενη αλγεβρική ταυτότητα.
Στη συνέχεια ακολουθεί αναλυτική απόδειξη.
Απόδειξη της ταυτότητας:\[(\alpha+\beta)^{2}=\alpha^{2}+2\alpha\beta+\beta^{2}\]
Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα τετράγωνο πλευράς α, ένα τετράγωνο πλευράς β και δυο ορθογώνια με μήκος α και πλάτος β (οι α και β είναι θετικοί αριθμοί με α>β). Η αλγεβρική παράσταση δεν είναι παρά το γινόμενο: (α+β)∙(α+β). Αυτό μπορεί να παρασταθεί ως ένα τετράγωνο του οποίου οι πλευρές είναι (α+β) και το εμβαδόν είναι: \[(\alpha+\beta)^{2}\] Το τετράγωνο με πλευρά (α + β) αποτελείται από τέσσερις περιοχές. Στο παρακάτω σχήμα παριστάνουμε:
Με \( \alpha^2 \) το εμβαδόν του τετραγώνου ΗΘΖΗ.
Με \( \beta^2 \) το εμβαδόν του τετραγώνου ΓΒΚΘ.
Με \( (\alpha\beta) \) το εμβαδόν των ίσων ορθογωνίων ΑΓΘΗ και
ΘΚΕΖ.
Η αλγεβρική ταυτότητα μπορεί να δειχθεί με βάση τα εμβαδά των τετραγώνων και ορθογωνίων. Παρατηρώντας το σχήμα μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη ισότητα εμβαδών:
(ΑΒΕΔ)=(ΗΘΖΔ)+(ΑΓΘΗ)+(ΘΚΕΖ)+(ΓΒΚΘ) (1)
Επειδή τα δύο ορθογώνια έχουν ίσες πλευρές θα έχουν ίσα εμβαδά: (ΑΓΘΗ)=(ΘΚΕΖ)
Έτσι η ισότητα (1) γράφεται ως εξής:
(ΑΒΕΔ)=(ΗΘΖΔ)+2(ΑΓΘΗ)+(ΓΒΚΘ) (2)
Τα τετράγωνα ΑΒΕΔ, ΗΘΖΔ και ΓΒΚΘ ορίζονται από τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΗΔ και ΓΒ. Έτσι η εξίσωση (2) μπορεί να γραφεί:
\(ΑΒ^2=ΗΔ^2+2(ΑΓ)(ΑΗ)+ΓΒ^2\) (3)
Είναι ΗΔ=α και ΓΒ=β. Τότε ΑΒ=α+β και το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΓΘΗ είναι (ΑΓ)(ΑΗ)=αβ.
Έτσι η εξίσωση (3) οδηγεί στην επιθυμητή ταυτότητα: \[(\alpha+\beta)^{2}=\alpha^{2}+2\alpha\beta+\beta^{2}\]
Η ισότητα αυτή, εκτός από θετικούς, ισχύει για οποιουσδήποτε αριθμούς α και β, άρα είναι μία αλγεβρική ταυτότητα.
Βιβλιογραφία
- Katz, V. (2004). A history of Mathematics. Pearson.
- Struik, D. (1982). Συνοπτική Ιστορία των Μαθηματικών. Ι. Ζαχαρόπουλος: Αθήνα.
- Γκουντουβάς, Σ. (2021). Γεωμετρικές Διαδρομές, Γ' έκδοση. Αθήνα.