Εργασία με προεκτάσεις

Αν οι αριθμοί α, β, γ εκφράζουν τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε όπως γνωρίζουμε, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα \( \alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 \).

Πόσα όμως ορθογώνια τρίγωνα μπορούμε να βρούμε που τα μήκη των πλευρών τους εκφράζονται με θετικούς ακέραιους αριθμούς;

Μια τριάδα θετικών ακέραιων αριθμών (α, β, γ), για την οποία ισχύει η σχέση \( \alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 \), λέμε ότι αποτελεί Πυθαγόρεια Τριάδα (ΠΤ).

Την απλούστερη Πυθαγόρεια Τριάδα σχηματίζουν οι αριθμοί 5, 4, 3 αφού \( 5^2 = 4^2 + 3^2 \).

Υπάρχουν, άραγε, τρόποι να σχηματίζουμε Πυθαγόρειες Τριάδες;

1. Ο Πυθαγόρας (6ος αιώνας π.Χ.) γνώριζε ότι οι αριθμοί της μορφής: \[\frac{\mu^{2}+1}{2},\frac{\mu^{2}-1}{2},\mu,\] όπου μ περιττός αριθμός, σχηματίζουν μια Πυθαγόρεια Τριάδα.

   - Να αποδείξετε ότι πράγματι οι αριθμοί αυτοί αποτελούν Πυθαγόρεια Τριάδα.

2. Ο Πλάτωνας (5ος – 4ος αιώνας π.Χ.) γνώριζε ότι οι αριθμοί της μορφής: \[\frac{\mu^{2}}{4}+1,\frac{\mu^{2}}{4}-1,\mu,\] όπου μ άρτιος αριθμός, σχηματίζουν μια Πυθαγόρεια Τριάδα.

   - Να αποδείξετε ότι πράγματι οι αριθμοί αυτοί αποτελούν Πυθαγόρεια Τριάδα.
   - Να βρείτε με τους αριθμούς του Πυθαγόρα 3 Πυθαγόρειες Τριάδες.

3. Ο Διόφαντος (3ος αιώνας μ.Χ.) στηριζόμενος σε μία ταυτότητα την οποία γνώριζε και ο Ευκλείδης, έδωσε μια γενικότερη λύση στο πρόβλημα κατασκευής Πυθαγόρειας Τριάδας από οποιουσδήποτε αριθμούς (άρτιους ή περιττούς). Ανακάλυψε ότι ο αριθμοί της μορφής: \( \lambda^2 + \mu^2, \quad \lambda^2 - \mu^2, \quad 2\lambda\mu \), όπου λ, μ θετικοί άνισοι ακέραιοι αριθμοί, σχηματίζουν Πυθαγόρεια τριάδα.

   - Να αποδείξετε ότι πράγματι οι αριθμοί αυτοί αποτελούν Πυθαγόρεια Τριάδα.
   - Να βρείτε με τους αριθμούς του Πυθαγόρα 3 Πυθαγόρειες Τριάδες.

Προέκταση

Να αποδείξετε ότι αν η τριάδα (α, β , γ) είναι πυθαγόρεια, τότε και η τριάδα (λα, λβ, λγ), με λ θετικό ακέραιο, είναι πυθαγόρεια.

Βιβλιογραφία

Π. Βερύκιος: Πυθαγόρειες τριάδες και Ταυτότητες, Περιοδικό ΕΜΕ, Ευκλείδης Α, τεύχη 37–38.

# Οθόνη Βοήθειας

## Οδηγίες

Διαβάστε το παρακάτω συμπληρωματικό υλικό για να αποκτήσετε μία καλύτερη κατανόηση του θέματος. Το συμπληρωματικό περιεχόμενο περιέχει ενδιαφέρουσες πληροφορίες και παραδείγματα που θα σας βοηθήσουν να εμβαθύνετε στη γνώση σας. Μη διστάσετε να επιστρέψετε σε αυτήν την ενότητα όποτε το κρίνετε απαραίτητο.

# Καρτέλα Συντελεστών