Εργασία με προεκτάσεις

Αν οι αριθμοί α, β, γ εκφράζουν τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε όπως γνωρίζουμε, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα \( \alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 \).

Πόσα όμως ορθογώνια τρίγωνα μπορούμε να βρούμε που τα μήκη των πλευρών τους εκφράζονται με θετικούς ακέραιους αριθμούς;

Μια τριάδα θετικών ακέραιων αριθμών (α, β, γ), για την οποία ισχύει η σχέση \( \alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 \), λέμε ότι αποτελεί Πυθαγόρεια Τριάδα (ΠΤ).

Την απλούστερη Πυθαγόρεια Τριάδα σχηματίζουν οι αριθμοί 5, 4, 3 αφού \( 5^2 = 4^2 + 3^2 \).

Υπάρχουν, άραγε, τρόποι να σχηματίζουμε Πυθαγόρειες Τριάδες;

1. Ο Πυθαγόρας (6ος αιώνας π.Χ.) γνώριζε ότι οι αριθμοί της μορφής: \[\frac{\mu^{2}+1}{2},\frac{\mu^{2}-1}{2},\mu,\] όπου μ περιττός αριθμός, σχηματίζουν μια Πυθαγόρεια Τριάδα.

   • Να αποδείξετε ότι πράγματι οι αριθμοί αυτοί αποτελούν Πυθαγόρεια Τριάδα.

2. Ο Πλάτωνας (5ος – 4ος αιώνας π.Χ.) γνώριζε ότι οι αριθμοί της μορφής: \[\frac{\mu^{2}}{4}+1,\frac{\mu^{2}}{4}-1,\mu,\] όπου μ άρτιος αριθμός, σχηματίζουν μια Πυθαγόρεια Τριάδα.

   • Να αποδείξετε ότι πράγματι οι αριθμοί αυτοί αποτελούν Πυθαγόρεια Τριάδα.
   • Να βρείτε με τους αριθμούς του Πυθαγόρα 3 Πυθαγόρειες Τριάδες.

3. Ο Διόφαντος (3ος αιώνας μ.Χ.) στηριζόμενος σε μία ταυτότητα την οποία γνώριζε και ο Ευκλείδης, έδωσε μια γενικότερη λύση στο πρόβλημα κατασκευής Πυθαγόρειας Τριάδας από οποιουσδήποτε αριθμούς (άρτιους ή περιττούς). Ανακάλυψε ότι ο αριθμοί της μορφής: \( \lambda^2 + \mu^2, \quad \lambda^2 - \mu^2, \quad 2\lambda\mu \), όπου λ, μ θετικοί άνισοι ακέραιοι αριθμοί, σχηματίζουν Πυθαγόρεια τριάδα.

   • Να αποδείξετε ότι πράγματι οι αριθμοί αυτοί αποτελούν Πυθαγόρεια Τριάδα.
   • Να βρείτε με τους αριθμούς του Πυθαγόρα 3 Πυθαγόρειες Τριάδες.

Προέκταση

Να αποδείξετε ότι αν η τριάδα (α, β , γ) είναι πυθαγόρεια, τότε και η τριάδα (λα, λβ, λγ), με λ θετικό ακέραιο, είναι πυθαγόρεια.

Βιβλιογραφία

Π. Βερύκιος: Πυθαγόρειες τριάδες και Ταυτότητες, Περιοδικό ΕΜΕ, Ευκλείδης Α, τεύχη 37–38.