Εργασία με προεκτάσεις

Στο διπλανό σχήμα οι αριθμοί 1, 121, 12321, 1234321, … σχηματίζουν ένα «αριθμητικό τρίγωνο».

  1. Παρατηρείτε κάποια κανονικότητα στο «αριθμητικό τρίγωνο»; Αν ναι να την περιγράψετε.
  2. Ποια είναι η επόμενη γραμμή του τριγώνου;
  3. Το άθροισμα των ψηφίων κάθε γραμμής τι σχέση έχει με το μεσαίο ψηφίο της ;
  4. Να υπολογίσετε τα τετράγωνα των αριθμών:

    \(1^2\) =

    \(11^2\) =

    \(111^2\) =

    \(1111^2\) =

    \(11111^2\) =

    \(111111^2\) =

    Τι παρατηρείτε;

  5. Να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες: \(\sqrt{12321}\), \(\sqrt{123454321}\), και \(\sqrt{12345678987654321}\)
1
1 2 1
1 2 3 2 1
1 2 3 4 3 2 1
1 2 3 4 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Το τρίγωνο του Pascal

Το τρίγωνο αυτό αναπτύχθηκε από τους αρχαίους Κινέζους.

Όμως ο Γάλλος μαθηματικός Β. Pascal (1623-1662) ήταν ο πρώτος που ανακάλυψε τη σημασία όλων των κανονικοτήτων που κρύβει. Ο Pascal το χρησιμοποιούσε σε προβλήματα πιθανοτήτων και συνδυαστικής.

  1. Να παρατηρήσετε τους αριθμούς του τριγώνου. Να διατυπώσετε έναν κανόνα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρίσκουμε κάθε αριθμό του τριγώνου. Να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για να γράψετε την επόμενη γραμμή του τριγώνου.
  2. Να αναπτύξετε τις δυνάμεις:

    \((x+1)^2\)=

    \((x+1)^3\)=

    Πώς συνδέεται η απάντησή σας με το τρίγωνο του Pascal; Να χρησιμοποιήσετε το τρίγωνο για να γράψετε το ανάπτυγμα του \((x+1)^5\)=

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

Επέκταση

Να ερευνήσετε για άλλες κανονικότητες στο τρίγωνο του Pascal. Μερικές ιδέες μπορεί να είναι οι εξής:

  • Να παρατηρήσετε τις διαγώνιες γραμμές του τριγώνου.
  • Να βρείτε το άθροισμα κάθε γραμμής. Τι παρατηρείτε;
  • Να βρείτε τις γραμμές στις οποίες ο 2ος αριθμός είναι πρώτος αριθμός. Ποιο είναι το ειδικό γι’ αυτές τις γραμμές;