Ιστορικό σημείωμα: Η διαμόρφωση της έννοιας της συνάρτησης στους αιώνες

Η έννοια της συνάρτησης έχει εξελιχθεί κατά τη διάρκεια της ιστορίας των Μαθηματικών και της Φιλοσοφίας. Η εν λόγω έννοια, ως έκφραση μιας εξάρτησης ανάμεσα σε δύο ποσότητες που συμμεταβάλλονται, εμφανίζεται μ’ έναν υπονοούμενο τρόπο, ήδη από πολύ παλιά.

Πολύ νωρίς οι Βαβυλώνιοι (γύρω στο 1800 π.Χ.) συνέταξαν και χρησιμοποίησαν για τις αστρονομικές τους παρατηρήσεις πίνακες, οι οποίοι τους βοήθησαν να διατυπώσουν τους πρώτους εμπειρικούς νόμους των πλανητών. Η Πλάκα 322 του Plimpton παρουσιάζει σε μορφή πίνακα τα μήκη των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Μπορούμε να πούμε ότι τότε εμφανίζεται για πρώτη φορά η έννοια της συνάρτησης με μορφή πινάκων. Για τους Έλληνες μαθηματικούς και φιλοσόφους, όπως ο Ευκλείδης και ο Αριστοτέλης, η έννοια της συνάρτησης είχε αρχικά φυσικές και γεωμετρικές ρίζες και την συνέδεαν κυρίως με γεωμετρικές σχέσεις. Στις εργασίες του Αρχιμήδη ενυπάρχει επίσης η έννοια της συνάρτησης, χωρίς όμως ρητή αναφορά στην έννοια. Εδώ θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι Αρχαίοι Έλληνες ενδιαφέρονταν περισσότερο για τις μορφές των αντικειμένων παρά για τις μεταβολές τους. Πολύ αργότερα ο Έλληνας μαθηματικός και αστρονόμος της αλεξανδρινής περιόδου Κλαύδιος Πτολεμαίος (128-168 μ. Χ.), καταχώρησε τους πίνακες χορδών της "Αλμαγέστης". Στη μία στήλη αυτών των πινάκων υπάρχουν τα μήκη των τόξων ενός κύκλου και στην άλλη τα μήκη των αντίστοιχων χορδών.

Παρότι οι παραπάνω πίνακες εκφράζουν στην ουσία, η έννοια της συνάρτησης δεν προήλθε από τα Μαθηματικά, αλλά εμπειρικά από τις φυσικές επιστήμες. Η άνθιση των μαθηματικών και φυσικών επιστημών κατά τον 17ο αιώνα οδήγησε τους ανθρώπους στη μελέτη των μεταβολών και ιδιαίτερα αυτών που προκύπτουν από τις κινήσεις. Για να εκφραστούν με μαθηματική γλώσσα οι μεταβολές των μεγεθών που παρουσιάζονται στην εξέταση ενός φαινομένου, έγινε εισαγωγή στη μαθηματική επιστήμη της έννοιας της μεταβλητής. Αποφασιστική ώθηση στην ανάπτυξη της έννοιας της συνάρτησης έδωσαν η δημιουργία της Άλγεβρας (χρήση γραμμάτων και ειδικών συμβόλων για την αναπαράσταση μαθηματικών πράξεων, σχέσεων, αγνώστων κ.λπ.) και της Αναλυτικής Γεωμετρίας (χρήση του αλγεβρικού συμβολισμού σε γεωμετρικά προβλήματα).

Οι Γάλλοι μαθηματικοί Pierre de Fermat (1601-1665) και René Descartes (1596-1650) έκαναν ουσιαστική διάκριση μεταξύ σταθερών και μεταβλητών μεγεθών, συνέβαλαν στην ανάπτυξη της έννοιας της συνάρτησης ως αλγεβρικής σχέσης και χρησιμοποίησαν γραφικές παραστάσεις και αλγεβρικές εκφράσεις.

Στις εργασίες με μεταβλητές παρουσιάστηκε η ανάγκη της εισαγωγής νέων εννοιών για την περιγραφή της εξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών. Ο René Descartes (1596-1950), στο έργο του "La Geometrie" (1637), στη μέθοδο προσδιορισμού μιας καμπύλης από μια εξίσωση ως προς x και y περιέγραψε για πρώτη φορά τη δυνατότητα αναλυτικής έκφρασης μιας σχέσης εξάρτησης ανάμεσα σε μεταβλητές ποσότητες.

Ο όρος αυτός άρχισε να αποκτά από εκείνη την εποχή μια ιδιαίτερη σημασία για την παράσταση ποσοτήτων που εξαρτώνται από άλλες μεταβλητές ποσότητες, ιδιαίτερα όταν η εξάρτηση αυτή μπορεί να πάρει τη μορφή μιας αναλυτικής έκφρασης. Ο J. Bernoulli (1655-1705) έδωσε το 1718 τον επόμενο γενικό ορισμό:

«Ονομάζω συνάρτηση ενός μεταβλητού μεγέθους μια ποσότητα που σχηματίζεται με οποιονδήποτε τρόπο από αυτό το μεταβλητό μέγεθος και από σταθερές».

Πρώτος χρησιμοποίησε τον όρο «συνάρτηση» για να εκφράσει διάφορες καταστάσεις ή σχέσεις ο Γερμανός φιλόσοφος και μαθηματικός Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Από τις εργασίες πολλών μαθηματικών διαμορφώθηκε τελικά το περιεχόμενο της νέας έννοιας. Η αντίληψη της συνάρτησης ως "αναλυτικής έκφρασης" κυριάρχησε για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα. Στα 1748 ο Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler (1707-1783), στο έργο του "Εισαγωγή στην απειροστική ανάλυση", έδωσε τον παρακάτω ορισμό της συνάρτησης:

«Συνάρτηση μιας μεταβλητής ποσότητας ονομάζεται μια αναλυτική έκφραση που σχηματίζεται με οποιονδήποτε τρόπο από αυτή τη μεταβλητή ποσότητα και αριθμούς ή σταθερές ποσότητες».

Ο Euler χρησιμοποίησε το σύμβολο f(x) και μίλησε για διάφορα είδη συναρτήσεων.

Με την ανάπτυξη της θεωρίας συνόλων η συνάρτηση ορίστηκε από τον Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) ως αυθαίρετη αντιστοιχία ανάμεσα στα στοιχεία δύο συνόλων, η οποία δεν ακολουθεί υποχρεωτικά έναν "νόμο". Το σημείο αυτό είχε επισημανθεί επίσης ρητά από τον Joseph Fourier (1768-1830). Πρόκειται για αντιστοιχία που δεν βασίζεται απαραίτητα στη συμμεταβολή των x και y. Σύμφωνα με τον Euler (1725):

«μια ποσότητα ονομάζεται συνάρτηση, όταν εξαρτάται από μια άλλη ποσότητα με τέτοιο τρόπο, ώστε εάν η τελευταία ποσότητα αλλάζει, η πρώτη ποσότητα να αλλάζει από μονή της».

Ενώ αρχικά για τον Euler συναρτήσεις ήταν μόνο οι αναλυτικές εκφράσεις (π. χ. ) στη συνέχεια αποδέχθηκε την ύπαρξη συναρτήσεων, που δεν έχουν αναλυτική έκφραση, αλλά μπορούν να παρασταθούν από μία ελεύθερη γραφική παράσταση.

Οι συναρτήσεις με όλες τις πτυχές τους είναι η καρδιά όλων των επιστημών. Οι συναρτήσεις έφεραν στο φως μια ποικιλία εκπληκτικών ανακαλύψεων και συνέβαλαν στην επίλυση πολυάριθμων προβλημάτων τα οποία πριν ήταν απροσπέλαστα.

Μερικά παραδείγματα:

• Η μορφή που δίνεται σε ένα φράγμα (1η εικόνα: φράγμα λίμνης Πλαστήρα) είναι καρπός εξειδικευμένων μελετών με βάση τις συναρτήσεις: πρέπει να ληφθεί υπόψη η αντίσταση των τοιχωμάτων του φράγματος στα ύδατα της λίμνης, να ρυθμιστεί η παροχή νερού, κ.λπ.
• Οι θαυμάσιες εικόνες που κατασκευάστηκαν από τον Yoichiro Kawaguchi με λογισμικό ζωγραφικής (2η εικόνα), είναι ένας από τους πρωτοπόρους της γραφιστικής πληροφορικής, όπου χρησιμοποιούνται μαθηματικές συναρτήσεις.
• Τέλος, απεικονίζεται ψηφιακά μία πολύχρωμη αναπαράσταση του γενετικού κώδικα (3η εικόνα). Η ανακάλυψη της διπλής έλικας του DNA, η οποία σχετίζεται με τη μεταβίβαση των κληρονομικών χαρακτηριστικών, έγινε δυνατή με τη βοήθεια της ανάλυσης Fourier και βασίστηκε στην περίθλαση ακτίνων X. Η Αστροβιολογία καταγίνεται με την αναζήτηση εξωγήινης ζωής και τον ρόλο της γενετικής στη διαφοροποίηση των έμβιων όντων και την εξέλιξη.

Η έννοια της συνάρτησης είναι μία από τις πιο σημαντικές έννοιες των Μαθηματικών αλλά και των περισσότερων επιστημονικών κλάδων. Μετά τον 18ο αιώνα άλλαξε τα Μαθηματικά που ξέραμε. Σήμερα το βασικό αντικείμενο που διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους δεν είναι πλέον ο αριθμός, αλλά η μεταβολή και η συνάρτηση. Τα Μαθηματικά δεν εμπλουτίστηκαν απλώς με νέες μεθόδους, αλλά άλλαξαν ριζικά.

Ερωτήματα για περαιτέρω σκέψη και έρευνα:

• α) Το κείμενο περιγράφει την εξέλιξη της έννοιας της συνάρτησης μέσα στους αιώνες, ξεκινώντας από τους Βαβυλώνιους και φτάνοντας μέχρι τη σύγχρονη εποχή. Ποιες πιστεύετε ότι ήταν οι βασικές ανάγκες ή τα προβλήματα που οδήγησαν τους μαθηματικούς και τους φιλοσόφους στην ανάπτυξη και διαμόρφωση αυτής της έννοιας με την πάροδο του χρόνου; Μπορείτε να αναφέρετε ένα παράδειγμα από το κείμενο που να υποστηρίζει την άποψή σας;
• β) Στο τέλος του κειμένου, αναφέρονται διάφορα παραδείγματα εφαρμογών των συναρτήσεων (φράγματα, γραφιστική πληροφορική, γενετικός κώδικας). Πώς πιστεύετε ότι οι συναρτήσεις, ως μαθηματικά μοντέλα, βοηθούν στην κατανόηση και επίλυση προβλημάτων σε αυτούς τους τομείς; Μπορείτε να σκεφτείτε άλλους τομείς της επιστήμης ή της τεχνολογίας, εκτός από αυτούς που αναφέρονται, όπου οι συναρτήσεις διαδραματίζουν καθοριστικό ρόλο;

Βιβλιογραφία

• Katz, V. (2004). A history of Mathematics. Pearson.
• Kronfellner M. (1995). The History of the Concept of Function and Sum Implications for Classroom Teaching. In F. Swetz, J. Fauvel, O. Bekken, B. Johansonson, & V. Katz (Eds), Learn from the Masters (pp. 317-320). The Mathematical Association of America.
• Struik, D. (1982). Συνοπτική Ιστορία των Μαθηματικών. Ι. Ζαχαρόπουλος: Αθήνα.
• Βασάκος, Θ. (1995). Η Έννοια της Συνάρτησης στους Μαθητές του Λυκείου και Ενέργειες Κατανόησης – Εμπόδια που σχετίζονται με τον Ορισμό́ της Συνάρτησης. Στο Α. Γαγάτσης (Εκδ.), Διδακτική́ των Μαθηματικών: Θεωρία και Έρευνα (σσ. 239-257). Θεσσαλονίκη: Art of Text.
• Χριστιανίδης Γ. (2003). Θέματα από την Ιστορία των Μαθηματικών. Αιγυπτιακά, Βαβυλωνιακά και Ελληνικά Μαθηματικά. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.