Ιστορικό Σημείωμα

Κατά την αρχαιότητα η έλλειψη κατάλληλου συμβολισμού εμπόδισε τη λύση πολλών μαθηματικών προβλημάτων. Με την πάροδο του χρόνου, αρκετοί μαθηματικοί επινόησαν κατάλληλο αλγεβρικό συμβολισμό, έτσι ώστε να μπορούν να εργάζονται με ποσότητες (μεταβλητές ή όχι) και να λύνουν μια σειρά προβλημάτων πιο αποτελεσματικά από τις αριθμητικές μεθόδους. Θα σταθούμε στη συμβολή δύο κύριων θεμελιωτών της Άλγεβρας, του Διόφαντου και του Χουαρίζμι.

Διόφαντος. Είναι Έλληνας μαθηματικός ο οποίος έζησε στα μέσα του 3ου αιώνα μ.Χ. στην Αλεξάνδρεια. Παρίστανε ποσότητες με χρήση γραμμάτων και θεωρείται ο «πατέρας της Άλγεβρας». Από τα 13 έργα που έγραψε σώθηκαν μόνο 10, τα 6 σε ελληνικά χειρόγραφα και τα 4 σε αραβική μετάφραση. Το πιο διάσημο από τα έργα του είναι τα «Αριθμητικά». Πρόκειται για μια εκτεταμένη συλλογή που αποτελείται από 130 προβλήματα με μεγάλη ποικιλία και υψηλό βαθμό πρωτοτυπίας. Το έργο του δεν έχει τίποτα κοινό με κανένα πρότερο μαθηματικό κείμενο και οι λύσεις που προτείνει είναι εξαιρετικά ιδιοφυείς. Πρόκειται για το αρχαιότερο ελληνικό έργο στο οποίο για πρώτη φορά χρησιμοποιείται μεταβλητή στη λύση προβλημάτων. Ο Διόφαντος εισήγαγε ευρέως τη συμβολική συντομογραφία. Για παράδειγμα χρησιμοποιούσε ξεχωριστά σημάδια για τις δυνάμεις, για το πλην, τους αντίστροφους και τον άγνωστο που περιέχεται στις εξισώσεις. Οι εξισώσεις δεν ταξινομούνται από τον Διόφαντο σύμφωνα με τον βαθμό τους. Ο Διόφαντος ήταν ο πρώτος μαθηματικός που έψαξε συστηματικά λύσεις ακέραιων (ή ρητών) αριθμών μιας εξίσωσης ή ενός συστήματος εξισώσεων. Στα Αριθμητικά περιέχεται μία οργανωμένη συλλογή προβλημάτων, με περισσότερους από έναν αγνώστους που έχουν συνήθως άπειρες λύσεις. Η Διοφαντική Ανάλυση συνίσταται στην εύρεση λύσεων στις απροσδιόριστες εξισώσεις, όπως

\( Ax + By = \Gamma, \quad Ax^2 + Bx + \Gamma = y^2, \quad Ax^3 + Bx^2 + \Gamma x + \Delta = y^2 \)

Ο Διόφαντος καταγινόταν με εξισώσεις που οδηγούσαν σε ακριβείς θετικές ρητές λύσεις. Μεταξύ άλλων βρίσκουμε και τις ακόλουθες εξισώσεις.

\( x^2 - 26y^2 = 1, \quad x^2 - 30y^2 = 1 \)

Οι εξισώσεις αυτές αναφέρονται στη βιβλιογραφία ως «Διοφαντικές εξισώσεις» και φέρουν το όνομά του, αφού ο Διόφαντος είναι ο πρώτος μαθηματικός που μελέτησε αυτό το είδος των εξισώσεων. Ο Διόφαντος επινόησε έναν καλά αναπτυγμένο αλγεβρικό συμβολισμό που βοηθούσε στη λύση προβλημάτων. Επιπλέον, τα προβλήματα αυτά ήταν περισσότερο σύνθετα από εκείνα που είχαν αντιμετωπιστεί μέχρι τότε. Ο χαρακτήρας του έργου του Διόφαντου είναι κατά βάση αλγεβρικός και αντιπροσωπεύει ένα συγκεκριμένο στάδιο εξέλιξης στην Άλγεβρα, το οποίο έχει ονομαστεί από τους ιστορικούς των Μαθηματικών «συγκεκομμένη» Άλγεβρα, το οποίο εκτιμήθηκε κατά τους επόμενους αιώνες.

Ο Διόφαντος φαίνεται να γνώριζε ότι κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων. Αυτό είναι ένα ακόμα αξιοσημείωτο επίτευγμα. Για παράδειγμα το 54 γράφεται:

\( 54 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 \)

Μπορείτε να κάνετε την επαλήθευση; Μπορείτε να βρείτε κι άλλες τετράδες που επαληθεύουν την εικασία;

Al-Khawarismi (περίπου 780 -850 μ. Χ.). Ο Al-Khwarizmi (Αλ Χουαρίζμι) ήταν μέρος μιας ομάδας μελετητών που εργάστηκε στον «Οίκο της Σοφίας», ένα είδος ερευνητικού κέντρου που βρισκόταν στη Βαγδάτη. Ο Αλ Χουαρίζμι έθεσε τις κατευθυντήριες γραμμές του αλγεβρικού χειρισμού. Έγραψε πολλά βιβλία κυρίως για τα Μαθηματικά και την Αστρονομία. Η Αριθμητική του φωτίζει το ινδικό σύστημα αρίθμησης. Το βιβλίο αυτό αποτέλεσε ένα από τα μέσα με τα οποία η δυτική Ευρώπη γνώρισε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης θέσης. Ανάλογη απήχηση είχε και η Άλγεβρα του Αλ Χουαρίζμι. Το έργο του με τον αραβικό τίτλο Kitab al jabr w’al muqabala (επιστήμη αναγωγής και ισοστάθμισης) θεωρείται η πρώτη πραγματεία της άλγεβρας. Αναφέρεται κυρίως στην επίλυση γραμμικών και δευτεροβάθμιων εξισώσεων, χωρίς αλγεβρικό φορμαλισμό. Ανάμεσα στις εξισώσεις που περιέχει προβάλλουν τρεις χαρακτηριστικοί τίτλοι:

Ερωτήματα για περαιτέρω σκέψη και έρευνα:

• α) Το κείμενο αναφέρει ότι η έλλειψη κατάλληλου συμβολισμού στην αρχαιότητα εμπόδισε τη λύση πολλών μαθηματικών προβλημάτων. Πώς πιστεύετε ότι η ανάπτυξη του αλγεβρικού συμβολισμού, από μαθηματικούς όπως ο Διόφαντος, άλλαξε τον τρόπο που προσεγγίζονταν και λύνονταν τα μαθηματικά προβλήματα; Μπορείτε να σκεφτείτε ένα σύγχρονο παράδειγμα όπου ο συμβολισμός (είτε μαθηματικός είτε άλλου είδους) διευκολύνει την κατανόηση ή την επίλυση ενός προβλήματος;
• β) Στο κείμενο παρουσιάζονται οι συνεισφορές του Διόφαντου και του Αλ-Χουαρίζμι στην Άλγεβρα. Ποιες πιστεύετε ότι ήταν οι κύριες διαφορές στην προσέγγιση των δύο αυτών μαθηματικών όσον αφορά τον τρόπο που ασχολήθηκαν με τις εξισώσεις και τον αλγεβρικό συμβολισμό; Πώς αυτές οι διαφορετικές προσεγγίσεις συνέβαλαν στη διαμόρφωση της Άλγεβρας όπως τη γνωρίζουμε σήμερα;

Βιβλιογραφία

• Katz, V. (2004). A history of Mathematics. Pearson.
• Klein, J. (1992). Greek mathematical thought and the origin of algebra. Courier Corporation.
• Struik, D. (1982). Συνοπτική Ιστορία των Μαθηματικών. Ι. Ζαχαρόπουλος: Αθήνα.
• Θωμαΐδης, Γ. (2011). Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα «Αριθμητικά» του Διοφάντου. Εκδόσεις Ζήτη: Θεσσαλονίκη.