Εργασία με προεκτάσεις

Όσο πιο γρήγορα οδηγούμε, τόσος περισσότερος χρόνος χρειάζεται για να σταματήσουμε. Διακρίνουμε μεταξύ της απόστασης που διανύθηκε κατά το φρενάρισμα (απόσταση πέδησης) και της σύνθετης απόστασης από τη στιγμή που αναγνωρίζεται ένας κίνδυνος μέχρι το σημείο ακινητοποίησης του οχήματος (απόσταση ακινητοποίησης).

Ισχύει ο εμπειρικός κανόνας σε μέτρα: Απόσταση πέδησης: \(π = \biggl( \dfrac{ν}{10} \biggr)^2\)

Απόσταση ακινητοποίησης: \(α = \biggl( \dfrac{ν}{10} \biggr)^2 + 3\cdot{\dfrac{ν}{10}}\)

Η ταχύτητα v δίνεται σε km/h.

Μία ποδηλάτισσα βρίσκεται 10 μέτρα μακριά από ένα φανάρι που μόλις άναψε κόκκινο. Να προσδιορίσετε με δοκιμές τη μέγιστη ταχύτητα με την οποία ακινητοποιείται εγκαίρως.

Ποια μέγιστη ταχύτητα θα προέκυπτε εάν ληφθεί ως βάση μόνο η απόσταση πέδησης; Να δώσετε μία κατά προσέγγιση τιμή, χρησιμοποιώντας ένα πρόγραμμα Υπολογιστικών Φύλλων (Excel) ή αριθμομηχανή για να λύσετε την εξίσωση.

Απάντηση:

Η ποδηλάτισσα βρίσκεται 10 μέτρα μακριά από ένα φανάρι που μόλις άναψε κόκκινο. Καλούμαστε να λύσουμε δύο εξισώσεις και να προσδιορίσουμε τη μέγιστη ταχύτητα ακινητοποίησης και τη μέγιστη ταχύτητα πέδησης.

Δημιουργώντας ένα Υπολογιστικό Φύλλο στο πρόγραμμα Excel θα επιχειρήσουμε να αναγνωρίσουμε τη λύση του προβλήματος. Στα κελιά C3 και D3 εισάγουμε τους τύπους πέδησης και ακινητοποίησης. Στη γραμμή τύπων του Excel μπορείτε να δείτε τη σύνταξη του τύπου ακινητοποίησης. Είναι: D3= \( \biggl( \dfrac{B3}{10} \biggr)^2 + 3\cdot \dfrac{B3}{10}\) O τύπος πέδησης είναι: C3 = \(\biggl( \dfrac{B3}{10} \biggr)^2\) Εισάγουμε τιμές για την ταχύτητα του ποδηλάτου π. χ. από v=15 έως v=35 με σκοπό να κάνουμε συστηματικές δοκιμές. Αναπαράγοντας τους τύπους στις δύο στήλες το πρόγραμμα υπολογίζει αυτόματα τις τιμές.

Σύμφωνα με το πρόγραμμα Υπολογιστικών Φύλλων (Excel) μπορούμε να αναγνωρίσουμε τη λύση του προβλήματος: η μέγιστη ταχύτητα της ποδηλάτισσας αν λάβουμε υπόψιν την απόσταση ακινητοποίησης είναι 20km/h, ενώ αν λάβουμε υπόψιν την απόσταση πέδησης είναι κατά προσέγγιση 31 km/h.

Ερωτήματα για περαιτέρω σκέψη και έρευνα:

• α) Το πρόβλημα της ποδηλάτισσας δείχνει πώς τα μαθηματικά μοντέλα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση πραγματικών προβλημάτων ασφαλείας. Πώς πιστεύετε ότι η χρήση των τύπων για την απόσταση πέδησης και ακινητοποίησης συμβάλλει στην οδική ασφάλεια; Μπορείτε να σκεφτείτε άλλους παράγοντες, εκτός της ταχύτητας, που θα μπορούσαν να επηρεάσουν αυτές τις αποστάσεις στην πραγματική ζωή (π.χ., κατάσταση οδοστρώματος, αντίδραση οδηγού) και πώς θα μπορούσαν να ενσωματωθούν σε πιο σύνθετα μαθηματικά μοντέλα;
• β) Στο πρόβλημα, χρησιμοποιήθηκε ένα υπολογιστικό φύλλο (Excel) για την εύρεση της λύσης. Γιατί πιστεύετε ότι είναι χρήσιμη η χρήση υπολογιστικών εργαλείων (όπως το Excel) στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, ειδικά όταν απαιτούνται συστηματικές δοκιμές ή υπολογισμοί για πολλές τιμές; Ποιες είναι οι δυνατότητες και τα πλεονεκτήματα που προσφέρουν τέτοια εργαλεία σε σύγκριση με τους χειροκίνητους υπολογισμούς;

Πρόβλημα Μοντελοποίησης: Κατανάλωση καυσίμου οχήματος

Ένα αυτοκίνητο καταναλώνει βενζίνη ανάλογα με την ταχύτητα με την οποία κινείται. Έχουν πραγματοποιηθεί μετρήσεις και έχει διαπιστωθεί ότι η κατανάλωση βενζίνης (σε λίτρα ανά 100 χιλιόμετρα) μπορεί να προσεγγιστεί με τους παρακάτω εμπειρικούς τύπους, όπου v είναι η ταχύτητα σε km/h:

• Κατανάλωση σε ευθεία διαδρομή (Κ_ευθ): K_ευθ = 0.005⋅v² − 0.4⋅v + 15
• Κατανάλωση σε διαδρομή με ανηφορικές κλίσεις (Κ_ανηφ): K_ανηφ = 0.008⋅v² − 0.5⋅v + 20

Ένας οδηγός σχεδιάζει ένα ταξίδι 100 χιλιομέτρων.

• α) Χρησιμοποιώντας ένα πρόγραμμα Υπολογιστικών Φύλλων (όπως το Excel) ή μία αριθμομηχανή, να κατασκευάσετε έναν πίνακα τιμών για την κατανάλωση βενζίνης (K_ευθ και K_ανηφ) για ταχύτητες που κυμαίνονται από v=40 km/h έως v=120 km/h, με βήμα 10 km/h.
• β) Με βάση τους πίνακες που δημιουργήσατε, ποια ταχύτητα θεωρείτε ότι είναι η πιο οικονομική (δηλαδή αυτή που οδηγεί στη μικρότερη κατανάλωση) για κάθε τύπο διαδρομής (ευθεία και ανηφορική); Να εξηγήσετε την επιλογή σας.
• γ) Εάν ο οδηγός έχει μόνο 8 λίτρα βενζίνης στο ρεζερβουάρ του και πρέπει να διανύσει 100 χιλιόμετρα σε ευθεία διαδρομή, ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα με την οποία μπορεί να κινηθεί για να φτάσει στον προορισμό του χωρίς να μείνει από καύσιμα; Να δώσετε μία κατά προσέγγιση τιμή.