Ιστορικό σημείωμα

Ένα στερεό του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από κανονικά πολύγωνα ίσα μεταξύ τους, λέγεται κανονικό πολύεδρο. Έτσι π.χ. το κανονικό τετράεδρο (κανονική τριγωνική πυραμίδα) είναι ένα στερεό που η επιφάνειά του αποτελείται από 4 ισόπλευρα και ίσα μεταξύ τους τρίγωνα.

Υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά στερεά, τα οποία, κατ’ αναλογία προς τα κανονικά πολύγωνα είναι εγγράψιμα σε σφαίρα και περιγράψιμα σε άλλη ομόκεντρη σφαίρα: το κανονικό τετράεδρο, εξάεδρο, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο. Τα πολύεδρα αυτά συχνά ονομάζονται και Πλατωνικά ή κοσμικά στερεά.

Πλατωνικό στερεό λέγεται ένα κυρτό κανονικό πολύεδρο, του οποίου όλες οι έδρες είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες. Επομένως, όλες οι ακμές του είναι ίσα ευθύγραμμα τμήματα, καθώς επίσης και όλες οι επίπεδες γωνίες των εδρών του είναι ίσες.

Τα πέντε Πλατωνικά στερεά είναι τα ακόλουθα:

Οι Πυθαγόρειοι ήταν οι πρώτοι που μελέτησαν τα Πλατωνικά στερεά. Ανακάλυψαν τον κύβο, το τετράεδρο και το δωδεκάεδρο.

Ο φιλόσοφος Πλάτωνας, από τον οποίο προέρχεται το όνομα των στερεών αυτών, τα συνέδεσε με τα τέσσερα στοιχεία της φύσης. Προς τιμήν του αρχαίου Έλληνα φιλόσοφου Πλάτωνα (427-347 π.Χ.), που ασχολήθηκε με αυτά, ονομάζονται «Πλατωνικά στερεά», επειδή μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Στη φιλοσοφία του Πλάτωνα, τα στερεά αυτά συμβόλιζαν τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος: το τετράεδρο τη φωτιά, ο κύβος τη γη, το εικοσάεδρο το νερό, το οκτάεδρο τον αέρα και το δωδεκάεδρο τον αιθέρα.

Ο Ευκλείδης (350 -270 π. χ. ) ασχολήθηκε με αυτά στο Βιβλίο XIII των Στοιχείων του. Σε αυτό εκτίθεται η θεωρία της κατασκευής των πέντε κανονικών πολυέδρων, όπου οι ακμές τους εκφράζονται ως συνάρτηση της ακτίνας της περιγεγραμμένης σφαίρας με τη βοήθεια της θεωρίας των αρρήτων του Βιβλίου X και αποδεικνύεται ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά πολύεδρα. Από αυτά ο κύβος, το τετράεδρο και το δωδεκάεδρο πρέπει να μελετήθηκαν από τους Πυθαγορείους, ενώ η μελέτη του οκταέδρου και του εικοσαέδρου αποδίδεται στον Θεαίτητο (417-369 π. Χ.). Ο Θεαίτητος ο Αθηναίος ήταν μάλλον ο πρώτος που έγραψε για τα κανονικά στερεά, ενώ σύμφωνα με μια μαρτυρία του Υψικλή (190- 120 π. Χ.), μια δεύτερη πραγματεία πάνω στο θέμα αυτό με τίτλο «Σύγκριση των πέντε κανονικών στερεών» γράφηκε γύρω στο 320 π.Χ. από τον Αρισταίο. Πιθανόν στην πραγματεία αυτή να ανάγονται οι κατασκευές των εγγεγραμμένων σε σφαίρα κανονικών πολυέδρων που απαντάμε στη «Συναγωγή» του Πάππου. Ο Υψικλής μας μεταφέρει επίσης τη μαρτυρία ότι ο Απολλώνιος έγραψε μια συγκριτική μελέτη για το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο, η οποία όμως δεν διασώθηκε.

Ο Αρχιμήδης (287 -212 π. Χ) επέκτεινε την εργασία αυτή με τη μελέτη των Αρχιμήδειων στερεών, τα οποία είναι ημικανονικά πολύεδρα. Σύμφωνα με μαρτυρία του Πάππου, ο Αρχιμήδης στη χαμένη πραγματεία του για τα λεγόμενα ημικανονικά πολύεδρα διακρίνει δεκατρία νέα είδη πολυέδρων, οι έδρες των οποίων είναι κανονικά πολύγωνα, αλλά διάφορων ειδών, και όλες οι κορυφές των οποίων είναι ισοδύναμες, δηλαδή έχουν την ίδια διάταξη εδρών γύρω από κάθε κορυφή. Από αυτά άλλα έχουν δύο είδη πολυγώνων και άλλα τρία. Ο αριθμός των εδρών κυμαίνεται μεταξύ 8 και 92. Σήμερα τα πολύεδρα αυτά ονομάζονται ημικανονικά ή Αρχιμήδεια στερεά.

Κατά την Αναγέννηση, οι καλλιτέχνες και οι επιστήμονες έδειξαν νέο ενδιαφέρον για τα Πλατωνικά στερεά. Κατά τον 15ο αι. με τις εργασίες του Πιέρο ντελλα Φραντσέσκα (1457) και τη «Θεϊκή αναλογία» του Λουκά Πατσόλι (1509), όπου εξετάζονται Αρχιμήδεια στερεά και τρόποι κατασκευής τους. Στα κανονικά πολύεδρα αναφέρονται επίσης στο έργο τους ο Φινέος (Orontius Finaeus, 1550) και ο Ράμος (1569).

Τα αποκαλούμενα σήμερα Αρχιμήδεια στερεά: κυβοκτάεδρο, (ρομβο) κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο, (ρομβο) κόλουρο κυβοκτάεδρο, κόλουρος κύβος, κόλουρο δωδεκάεδρο, κόλουρο εικοσάεδρο, κόλουρο οκτάεδρο, εικοσιδωδεκάεδρο, ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο, ρομβοκυβοκτάεδρο, πεπλατυσμένος κύβος, πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο, κόλουρο τετράεδρο.

Ο Κέπλερ τα μελέτησε εκτενώς και προσπάθησε να συνδέσει τα Πλατωνικά στερεά με την αστρονομία, ιδίως με τις τροχιές των πλανητών.

Τα Πλατωνικά στερεά παραμένουν ένα θεμελιώδες θέμα στη Γεωμετρία και συνεχίζουν να εντυπωσιάζουν και να εμπνέουν μαθηματικούς, καλλιτέχνες και επιστήμονες.

Ερωτήματα για περαιτέρω σκέψη και έρευνα

α) Το κείμενο αναφέρει ότι τα Πλατωνικά στερεά, πέρα από τη μαθηματική τους σημασία, συνδέθηκαν από τον Πλάτωνα με τα τέσσερα στοιχεία της φύσης (φωτιά, γη, νερό, αέρας) και τον αιθέρα, ως δομικά στοιχεία του σύμπαντος. Πώς πιστεύετε ότι αυτή η σύνδεση των μαθηματικών σχημάτων με τη φύση και τον κόσμο βοήθησε τους αρχαίους φιλοσόφους να κατανοήσουν ή να εξηγήσουν το σύμπαν; Μπορείτε να σκεφτείτε άλλες περιπτώσεις όπου τα Μαθηματικά ή η Γεωμετρία έχουν χρησιμοποιηθεί για να περιγράψουν ή να συμβολίσουν πτυχές του φυσικού κόσμου ή αφηρημένες έννοιες;

β) Τα Πλατωνικά στερεά και αργότερα τα Αρχιμήδεια στερεά, μελετήθηκαν από πολλούς σπουδαίους μαθηματικούς και φιλοσόφους σε διάφορες εποχές. Γιατί πιστεύετε ότι αυτά τα συγκεκριμένα γεωμετρικά σχήματα εξακολουθούν να εμπνέουν και να μελετώνται από μαθηματικούς, καλλιτέχνες και επιστήμονες μέχρι σήμερα; Ποια χαρακτηριστικά τους τα καθιστούν τόσο ενδιαφέροντα και διαχρονικά, ακόμα και με την ανάπτυξη της σύγχρονης Γεωμετρίας;

Βιβλιογραφία

• Katz, V. (2004). A history of Mathematics. Pearson.
• Coxeter, H. S. M. (1973). Regular polytopes. Courier Corporation.
• Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (2011). A history of mathematics. John Wiley & Sons.
• Heath, T. L. (1981). A history of Greek mathematics (Vol. 1). Courier Corporation.
• Stillwell, J., & Stillwell, J. (1989). Mathematics and its History (Vol. 3). New York: Springer.
• Ευκλείδου του Αλεξανδρέως (2022). Τα Στοιχεία (Επιμ. Ν. Ροκοπάνος, Σ. Σακελλάρη & Α. Τσολομύτης)
• https://myria.math.aegean.gr/elements/index-el.html