Εργασία με προεκτάσεις

Υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά στερεά. Τα πολύεδρα αυτά συχνά ονομάζονται και Πλατωνικά ή κοσμικά στερεά. Τα πέντε Πλατωνικά στερεά είναι τα ακόλουθα: Κανονικό τετράεδρο, Κανονικό εξάεδρο (κύβος), Κανονικό Οκτάεδρο, Κανονικό Δωδεκάεδρο και κανονικό εικοσάεδρο.

• Να διατυπώσετε επιχειρήματα που αιτιολογούν ότι μόνο πέντε (5) κανονικά πολύεδρα είναι δυνατό να υπάρξουν.

Πειραματισμός, κατασκευή πλατωνικών στερεών και επιχειρηματολογία

1. Να εργαστείτε σε ομάδες και να κατασκευάσετε όσα περισσότερα Πλατωνικά στερεά μπορείτε. Να σχεδιάσετε με χαρτόνι ισόπλευρα τρίγωνα, τετράγωνα, κανονικά πεντάγωνα και μερικά κανονικά εξάγωνα και να τα κόψετε με ψαλίδι. Να τα χρησιμοποιήσετε για να κατασκευάσετε τα πέντε (5) Πλατωνικά στερεά. Να συγκεντρώσετε την προσοχή σας στην ιδέα ότι σε κάθε κορυφή τους θα συναντάται ο ίδιος αριθμός εδρών και κάθε έδρα θα είναι ένα κανονικό πολύγωνο.
2. Να συζητήσετε στην ολομέλεια της τάξης αν κάθε κατασκευή αποτελεί ένα τελείως κανονικό στερεό και να προβάλλετε επιχειρήματα γιατί νομίζετε ότι τα βρήκατε όλα.

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΣΚΕΨΗ:

• Να τοποθετήσετε τρία ισόπλευρα τρίγωνα, έτσι ώστε να συναντιούνται σε ένα σημείο. Να ενώσετε τις ακμές για να σχηματίσετε μία πυραμίδα. Έτσι θα μείνει ένα κενό για να τοποθετήσετε ένα ακόμα τρίγωνο ως βάση, σχηματίζοντας ένα τετράεδρο. Να παρατηρήσετε ότι πρόκειται για ένα «τελείως» κανονικό τετράεδρο. Γιατί δεν είναι τελείως κανονικό ένα εξάεδρο που προκύπτει από δύο κανονικά τετράεδρα που ενώνονται στη μία τους έδρα;
• Να αρχίσετε ξανά, αυτή τη φορά με τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα που συναντιούνται σε ένα σημείο. Αν τα ενώσουμε μαζί θα σχηματισθεί μία κανονική τετραγωνική πυραμίδα. Να προσθέσετε από άλλο ένα τρίγωνο σε κάθε ακμή του τετραγώνου και να κάνετε αυτά τα τέσσερα τρίγωνα να συναντηθούν σε ένα σημείο. Η διαδικασία αυτή θα οδηγήσει σε ένα κανονική οκτάεδρο.
• Να επιστρέψετε στα ισόπλευρα τρίγωνα. Να ενώσετε πέντε ισόπλευρα τρίγωνα σε ένα σημείο σχηματίζοντας μία πενταγωνική πυραμίδα. Να συνεχίσετε προσθέτοντας τρίγωνα στις ανοιχτές ακμές, έτσι ώστε να υπάρχουν τρίγωνα σε κάθε κορυφή. Είναι συναρπαστικό να ανακαλύψετε μία σφαιροειδή δομή που σχηματίζεται από 20 τρίγωνα: το κανονικό εικοσάεδρο.
• Αν συνεχίσετε δοκιμάζοντας έξι τρίγωνα που συναντιούνται σε ένα σημείο, θα διαπιστώσετε ότι θα σχηματιστεί μία επίπεδη επιφάνεια και όχι ένα στερεό. Ούτε με περισσότερα από 6 τρίγωνα θα έχουμε αποτέλεσμα. Επομένως, δεν γίνεται να κατασκευαστούν άλλα «τελείως» κανονικά πολύεδρα με τριγωνικές έδρες.
• Το επόμενο κανονικό πολύγωνο μετά από το ισόπλευρο τρίγωνο είναι το τετράγωνο. Να βάλετε μαζί τρία τετράγωνα, έτσι ώστε να συναντώνται σε ένα σημείο και να ενώσετε τις πλευρές. Αν προσθέσετε από ένα ακόμη τετράγωνο στις τρεις ανοιχτές κορυφές σχηματίζεται ένας κύβος που ονομάζεται και κανονικό εξάεδρο. Όπως και με τα τρίγωνα δεν μπορούν να σχηματιστούν άλλα πολύεδρα με τετράγωνα.
• Να συνεχίσετε με τα κανονικά πεντάγωνα. Μπορείτε να βάλετε τρία μαζί σε μία κορυφή και να συνεχίσετε να προσθέτετε και άλλα στις ανοιχτές κορυφές με τρία να συναντώνται σε κάθε σημείο μέχρι 12 πεντάγωνα να σχηματίσουν ένα τέλειο πολύεδρο, ένα δωδεκάεδρο.
• Τέλος, πειραματιζόμενοι θα οδηγηθείτε στο συμπέρασμα ότι δεν είναι δυνατά άλλα πολύεδρα με πεντάγωνα ή εξάγωνα. Αφότου διαπιστώσετε ότι τρία εξάγωνα σχηματίζουν επίπεδο, είναι ξεκάθαρο ότι τρία επτάγωνα δεν γίνεται να εφαρμόσουν σε κανένα σημείο. Επομένως, δεν υπάρχουν άλλα πιθανά πολύεδρα και έχετε ανακαλύψει και τα πέντε Πλατωνικά στερεά!

Βιβλιογραφία

• Katz, V. (2004). A history of Mathematics. Pearson.
• Lehrer, R., & Curtis, C. (2000). Why are some solids perfect? Conjectures and experiments by third graders. Teaching Children Mathematics, 6(5), 324-329.
• Van de Walle, J. A., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. (2014). Elementary and middle school mathematics. Pearson.

Ερωτήματα για περαιτέρω σκέψη και έρευνα

α) Το κείμενο αναφέρει ότι τα Πλατωνικά στερεά, πέρα από τη μαθηματική τους σημασία, συνδέθηκαν από τον Πλάτωνα με τα τέσσερα στοιχεία της φύσης (φωτιά, γη, νερό, αέρας) και τον αιθέρα, ως δομικά στοιχεία του σύμπαντος. Πώς πιστεύετε ότι αυτή η σύνδεση των μαθηματικών σχημάτων με τη φύση και τον κόσμο βοήθησε τους αρχαίους φιλοσόφους να κατανοήσουν ή να εξηγήσουν το σύμπαν; Μπορείτε να σκεφτείτε άλλες περιπτώσεις όπου τα Μαθηματικά ή η Γεωμετρία έχουν χρησιμοποιηθεί για να περιγράψουν ή να συμβολίσουν πτυχές του φυσικού κόσμου ή αφηρημένες έννοιες;

β) Τα Πλατωνικά στερεά και αργότερα τα Αρχιμήδεια στερεά, μελετήθηκαν από πολλούς σπουδαίους μαθηματικούς και φιλοσόφους σε διάφορες εποχές. Γιατί πιστεύετε ότι αυτά τα συγκεκριμένα γεωμετρικά σχήματα εξακολουθούν να εμπνέουν και να μελετώνται από μαθηματικούς, καλλιτέχνες και επιστήμονες μέχρι σήμερα; Ποια χαρακτηριστικά τους τα καθιστούν τόσο ενδιαφέροντα και διαχρονικά, ακόμα και με την ανάπτυξη της σύγχρονης Γεωμετρίας;