Ιστορικό σημείωμα

Οι στρατηγικές και τα επιχειρήματα του νεαρού δούλου στον πλατωνικό διάλογο Μένων με τον Σωκράτη στον ρόλο του δασκάλου των Μαθηματικών.

Το κίνητρο του Πλάτωνα στον Μένωνα ήταν κατά βάση φιλοσοφικό και δευτερευόντως μαθηματικό και παιδαγωγικό.

Ο Σωκράτης, μετά την παρουσίαση ενός τετραγώνου με πλευρά δύο πόδια, θέτει στον νεαρό δούλο το ακόλουθο γεωμετρικό πρόβλημα του διπλασιασμού του τετραγώνου:

Ποιο είναι το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου που έχει διπλάσιο εμβαδόν από το εμβαδόν ενός δεδομένου τετραγώνου με πλευρά 2 πόδια;

Η παρουσίαση ενός κατάλληλου σχήματος αρκεί να αποκαλύψει εν μέρει τη σωστή απάντηση. Είναι προφανές ότι ο Σωκράτης σχεδιάζει ορισμένα γεωμετρικά σχήματα στη γη. Τα σχήματα είναι απαραίτητα για να μπορέσει να ξυπνήσει τη σκέψη του νεαρού δούλου.

Πρώτη προσπάθεια διπλασιασμού του τετραγώνου: Η πρώτη απάντηση του νεαρού στο γεωμετρικό πρόβλημα είναι «4». Η πρώτη σκέψη του είναι να διπλασιάσει το μήκος των πλευρών του τετραγώνου, δηλαδή το μήκος της πλευράς να είναι ίσο με 4 πόδια και το εμβαδόν 16 τετραγωνικά πόδια. Θεωρεί ότι: \( 4^2 = 8 \). Είναι προφανές ότι αυτή η απάντηση είναι εσφαλμένη. Χρησιμοποιώντας σύγχρονα μαθηματικά σύμβολα ο συλλογισμός του θα μπορούσε να είναι ο ακόλουθος:

Η χρησιμοποίηση του γραμμικού μοντέλου σε μη γραμμικά μοντέλα οδηγεί στο εξής λάθος: η αναλογικότητα λειτουργεί για τα μήκη, αλλά δεν είναι εφαρμόσιμη στις επιφάνειες. Ο νεαρός δούλος, καθώς βλέπει τα 8 τετραγωνικά πόδια μέσα στα 16, ανακαλύπτει ότι έχει κατασκευάσει ένα τετράγωνο τέσσερις φορές μεγαλύτερο και αναγνωρίζει το λάθος του εφόσον \( 4 \times 4 = 16 \).

Δεύτερη προσπάθεια διπλασιασμού του τετραγώνου: Η δεύτερη απάντηση του δούλου είναι «3». Ο νεαρός σχεδιάζει ένα τετράγωνο του οποίου κάθε πλευρά είναι μιάμιση φορά από την πλευρά του αρχικού τετραγώνου. Γι’ αυτό διορθώνει την αρχική απάντηση λέγοντας ότι η πλευρά του μεγαλύτερου τετραγώνου προς την πλευρά του αρχικού θα πρέπει να έχει λόγο 3:2. Έτσι, η νέα πρότασή του είναι 3 πόδια. Με άλλα λόγια, ισχυρίζεται ότι \( 3^2 = 8 \) (λάθος), που είναι αριθμητικά ανακριβές.

Ο Σωκράτης τον βοηθά να κατανοήσει ότι ο νέος ισχυρισμός του δεν είναι σωστός, εφόσον \( 3 \times 3 = 9 \), δηλαδή ότι το τετράγωνο που κατασκευάζεται θα έχει εμβαδόν 9 τετραγωνικά πόδια και όχι 8.

Τρίτη προσπάθεια κατασκευής τετραγώνου διπλάσιου εμβαδού: Το ζητούμενο μήκος της πλευράς του τετραγώνου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το μήκος της πλευράς του πρώτου τετραγώνου και μικρότερο από την πλευρά του τετραγώνου που έχει μήκος μιάμιση φορά την πλευρά του αρχικού, δηλαδή με σημερινό συμβολισμό: \( 2 < \sqrt{8} < 3 \) . Ο δούλος δεν μπορεί «να βρει» την απάντηση, γιατί η πλευρά του τετραγώνου είναι άρρητος αριθμός. Τότε ο Σωκράτης τροποποιεί το ερώτημά του: «Εάν δεν μπορείς να μας το πεις ακριβώς, δείξ’το μας». Ο Σωκράτης οδηγεί προοδευτικά τον νεαρό δούλο στην κατασκευή ενός γεωμετρικού σχήματος. Επιστρέφοντας στην πρώτη προσπάθεια (όπου η επιφάνεια είναι χωρισμένη σε 4 τετράγωνα) η ιδέα της επανάληψης του τεμαχισμού στα τέσσερα τετράγωνα οδηγεί στο «στριφτό» τετράγωνο. Ο Σωκράτης παραθέτει τέσσερις φορές το αρχικό τετράγωνο και προτείνει μια κατασκευή που συνίσταται στη χάραξη της διαγωνίου με διαφορετικό κάθε φορά προσανατολισμό σε καθένα από αυτά και στο τέλος την απομάκρυνση των τεσσάρων ορθογωνίων τριγώνων που είναι διευθετημένα περιμετρικά. Μετά από μερικές ερωτήσεις ο νεαρός δούλος διαπιστώνει ότι το ζητούμενο ευθύγραμμο τμήμα δεν είναι παρά η διαγώνιος του αρχικού τετραγώνου. Για να εξασφαλιστεί ότι το τετράγωνο που έχει πλευρά τη διαγώνιο έχει διπλάσιο εμβαδόν από το αρχικό τετράγωνο αρκεί με πλευρά τη διαγώνιο του αρχικού τετραγώνου να κατασκευαστεί ένα τετράγωνο που να έχει ως πλευρά την εν λόγω διαγώνιο και να απαριθμηθούν τα ίσα ορθογώνια τρίγωνα που συνθέτουν την επιφάνεια των τετραγώνων.

Εδώ η γόνιμη ιδέα είναι ο τεμαχισμός του αρχικού τετραγώνου σε 2 ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα και η υιοθέτηση αυτού του τριγώνου ως μονάδα μέτρησης για τη σύγκριση του αρχικού και του νέου «εστιγμένου» τετραγώνου: το πρώτο τετράγωνο αποτελείται από δύο τριγωνάκια και το τελικό από τέσσερα, άρα είναι διπλάσιο σε εμβαδόν.

Ο νεαρός δούλος στην αρχή απάντησε 4, έπειτα 3 για να διαπιστώσει και τις δύο φορές ότι η απάντησή του είναι αριθμητικά ανακριβής. Ο δούλος με έκδηλη απορία ξεκίνησε με τη διατύπωση μιας λανθασμένης απάντησης. Αρχικά, ο Σωκράτης αφήνει τον δούλο στο λάθος του. Στη συνέχεια κάνοντας υπολογισμούς, τον βοηθά να αντιληφθεί ότι όταν διπλασιάσουμε την πλευρά του τετραγώνου, το εμβαδόν τετραπλασιάζεται. Με αυτό τον τρόπο, τον οδήγησε να κάνει νέες δοκιμές και να διατυπώσει μια νέα απάντηση που βρίσκεται πιο κοντά στη λύση του προβλήματος. Ο Σωκράτης του έθεσε μια προσεκτικά μελετημένη σειρά ερωτημάτων και χάραξε κάποια γεωμετρικά σχήματα που «υποβάλλουν» στον νεαρό τη λύση του προβλήματος.

Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία, δηλαδή την επιβεβαίωση, αναγνώριση και απόδειξη του λάθους, φθάνει στη λύση (τη γεωμετρική κατασκευή του \( 2 \sqrt{2} \), χωρίς ο Σωκράτης να προσδιορίσει αριθμητικά αυτό το μήκος). Η προηγούμενη κατασκευή δε δίνει αριθμητική απάντηση στο ερώτημα «ποιο είναι το μήκος της πλευράς του αρχικού τετραγώνου;» ούτε παραπέμπει στην κατανόηση και αιτιολόγηση της ασυμμετρότητας από τον νεαρό δούλο.

Ο στόχος για τον οποίο διεξάγεται το εν λόγω πείραμα είναι να επιβεβαιώσει τη δεδομένη μαθησιακή κατάσταση του νεαρού δούλου: δεν του έχει διδάξει τίποτα, επομένως δε γνωρίζει τίποτα, αλλά μπορεί να ανακαλύψει τα πάντα, γιατί η ψυχή του, όπως κάθε ανθρώπινη ψυχή, γνωρίζει όλα τα πράγματα.

Ερωτήματα για περαιτέρω σκέψη και διερεύνηση

α) Ποια σχέση μπορεί να έχει ένα γεωμετρικό σχήμα, όπως ένα τετράγωνο και η διαγώνιός του, με την ιδέα ότι μπορούμε να «δούμε» ή να «καταλάβουμε» κάτι χωρίς να μας το έχει διδάξει κάποιος ξεκάθαρα; Έχετε νιώσει ποτέ ότι κατανοήσατε κάτι βαθύτερα απλώς παρατηρώντας ή πειραματιζόμενοι;

β) Ο νεαρός δούλος έκανε δύο λάθη πριν φτάσει στη σωστή λύση. Πόσο σημαντικό είναι να επιτρέπουμε στον εαυτό μας να κάνει λάθη στη μαθησιακή διαδικασία; Πώς θα ήταν η τάξη σας αν τα λάθη θεωρούνταν ευκαιρίες για σκέψη αντί για αποτυχίες;

γ) Ο Σωκράτης δεν έδωσε έτοιμη απάντηση, αλλά χρησιμοποίησε ερωτήσεις και σχήματα για να οδηγήσει τον συνομιλητή του στη λύση. Αν ήσασταν στη θέση του Σωκράτη σήμερα, πώς θα βοηθούσατε έναν συμμαθητή σας να καταλάβει ένα δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα χωρίς να του πείτε κατευθείαν τη λύση;

Βιβλιογραφία

- Μπαραλής, Γ. & Κόσυβας, Γ. (2013). Η σωκρατική μέθοδος στον «Μένωνα»: μαθηματικές και διδακτικές διαστάσεις, Ηώς, 3, 50-67, Αθήνα: ΠΤΔΕ-ΕΚΠΑ.
- Πλάτων (2008). Μένων. Αθήνα: εκδόσεις Πόλις.

# Οθόνη Βοήθειας

## Οδηγίες

Διαβάστε το παρακάτω υλικό για να αποκτήσετε μία καλύτερη κατανόηση του θέματος. Το συμπληρωματικό περιεχόμενο περιέχει ενδιαφέρουσες πληροφορίες και παραδείγματα που θα σας βοηθήσουν να εμβαθύνετε στη γνώση σας. Μη διστάσετε να επιστρέψετε σε αυτήν την ενότητα όποτε το κρίνετε απαραίτητο.

# Καρτέλα Συντελεστών