Ιστορικό σημείωμα

Οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι μελετούσαν τα διάφορα φυσικά φαινόμενα και προσπαθούσαν να κατανοήσουν τους νόμους και την αρμονία της φύσης. Κατά τις διερευνήσεις τους ανακάλυψαν τον άρρητο αριθμό \(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)

που είναι γνωστός ως χρυσός λόγος ή χρυσή τομή. Κατά προσέγγιση είναι ίσος με 1,618. Είναι ένας δημοφιλής αριθμός με πολλές παράξενες ιδιότητες. Συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα φ προς τιμήν του γλύπτη Φειδία, ο οποίος τον αξιοποίησε κατά την κατασκευή του Παρθενώνα στην Ακρόπολη των Αθηνών.

Το πρόβλημα της χρυσής τομής αναφέρεται στη διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο ή άκρο λόγο. Η ιδέα συνίσταται στον χωρισμό ενός δεδομένου ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, από ένα εσωτερικό σημείο Γ, σε δύο άνισα μέρη, έτσι ώστε ο λόγος των μηκών του μεγαλύτερου προς το αρχικό να είναι ίσος με τον λόγο των μηκών του μεγαλύτερου τμήματος προς το μικρότερο.

Έστω ότι ΑΓ>ΓΒ.

Τότε:

\(\frac{AB}{A\Gamma} = \frac{A\Gamma}{\Gamma B} = \phi \approx 1{,}618\)

Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγορείους. Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές του αστεριού. Οι αρχαίοι Έλληνες διαπίστωσαν ότι η αναλογία της χρυσής τομής έχει ξεχωριστή αισθητική αξία. Η χρυσή τομή είναι μία από τις μεγαλύτερες ανακαλύψεις της Γεωμετρίας. Στο δεύτερο βιβλίο του θαυμαστού έργου του Ευκλείδη «Στοιχεία» περιγράφεται αναλυτικά η διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο (το μεγαλύτερο τμήμα είναι μέσο ανάλογο του μικρότερου μέρους και ολόκληρου του τμήματος). Το πρόβλημα διατυπώνεται αλγεβρικά με την ακόλουθη αναλογία:

\(\frac{\alpha}{x} = \frac{x}{\alpha - x}\)

Ας λογαριάσουμε λίγο την ομορφιά.

Αν διαιρέσουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος με \(x\) και θέσουμε \(\frac{\alpha}{x} = \phi\) βρίσκουμε: \(\frac{\alpha}{x} = \frac{1}{\frac{\alpha}{x} - 1}\) ή \(\phi = \frac{1}{\phi - 1}\).

Έχουμε: \(\phi(\phi - 1) = 1\) ή \(\phi^2 - \phi - 1 = 0\). Η θετική ρίζα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι: \(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\). Ο αριθμός \(\phi\) είναι άρρητος. Στη δεκαδική του μορφή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς περιοδικότητα. Στις μέρες μας μπορούμε με μια αριθμομηχανή να βρίσκουμε εύκολα πολλά δεκαδικά ψηφία του αριθμού \(\phi\).

φ=1,61803...

Ο αντίστροφός του είναι ίσος με 0,61803. . . , προκύπτει δηλαδή από τον φ αν αφαιρέσουμε τον αριθμό 1.

\(\frac{1}{\phi} = 0{,}61803\ldots = \phi - 1\)

Μετά από πάρα πολλά χρόνια ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι (1175 – 1240) ανακάλυψε μία ακολουθία στην οποία κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Μερικά από τα πηλίκα δύο διαδοχικών όρων της ακολουθίας του Φιμπονάτσι είναι:

\(\frac{5}{3} \approx 1{,}667,\ \frac{8}{5} = 1{,}60,\ \frac{13}{8} = 1{,}625,\ \frac{21}{13} \approx 1{,}615,\ \frac{34}{21} \approx 1{,}619,\ \ldots\)

Ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών μετά από τον 3 είναι περίπου 1,6 και όσο προχωρούμε το αποτέλεσμα συγκλίνει αργά, αλλά με όλο και με μεγαλύτερη ακρίβεια στον χρυσό αριθμό Αν θέλουμε να βρούμε τον \(φ^2\), προσθέσουμε στον φ τον αριθμό 1.

\(\phi^2 = \phi + 1,\ \phi^3 = \phi^2 + \phi,\ \phi^4 = \phi^3 + \phi^2,\) κ.λπ.

Έτσι, η ακολουθία \(1, \phi, \phi^2, \phi^3, \phi^4, \ldots\) δεν είναι απλώς γεωμετρική πρόοδος, αλλά και μια ακολουθία του Φιμπονάτσι, στην οποία κάθε όρος προκύπτει ως άθροισμα των δύο προηγούμενων. Στη μαθηματική καθημερινότητα τέτοια περίεργα πράγματα σπάνια συμβαίνουν ταυτόχρονα! Μερικές αξιοπερίεργες μαθηματικές μορφές του \(\phi\) είναι οι ακόλουθες:

\[ \phi = \sqrt{1 + \phi} = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \phi}} = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \ldots}}}} \]

\[ \phi = 1 + \frac{1}{\phi} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\phi}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}} \]

Έτσι, ο αριθμός φ εκφράζεται ως αποτέλεσμα απείρου πλήθους τετραγωνικών ριζών ή ως άπειρο συνεχές κλάσμα. Είναι το όριο του πηλίκου δύο διαδοχικών αριθμών Φιμπονάτσι.

Το ενδιαφέρον των αρχαίων Ελλήνων δεν σταμάτησε στην ανακάλυψη του φ. Ο Ευκλείδης στα Στοιχεία πραγματεύεται το θέμα γεωμετρικά. Προχωρά στην κατασκευή της χρυσής τομής με κανόνα και διαβήτη. Τον χρυσό αριθμό φ τον συναντούμε στα «χρυσά» γεωμετρικά σχήματα, όπως στο κανονικό πεντάγωνο, το κανονικό δωδεκάεδρο, το κανονικό δεκάγωνο, το «χρυσό τρίγωνο» (ισοσκελές τρίγωνο με γωνία κορυφής \( 36^o \) ) και ιδιαίτερα στο «χρυσό ορθογώνιο», που οι δύο πλευρές του είναι αντιστοίχως ανάλογες προς 1:1,618 περίπου και θεωρείται ότι αποτελεί για το μάτι την πιο αρμονική γεωμετρική μορφή.

Κατασκευή χρυσού ορθογωνίου. Κατασκευάζουμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς ΑΔ=1 και το χωρίζουμε σε δύο ίσα μέρη με τη διακεκομμένη γραμμή ΕΖ. Προεκτείνουμε τη βάση ΔΓ προς τα δεξιά. Με εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΓΒ βρίσκουμε \(EB = \frac{\sqrt{5}}{2}\)

Με κέντρο το σημείο Ε και ακτίνα ΕΒ κατασκευάζουμε κυκλικό τόξο που τέμνει την προέκταση της ΔΓ στο Θ. Έτσι σχηματίζεται η βάση ΔΘ=φ του ορθογωνίου. Στο σημείο Θ κατασκευάζουμε κάθετη προς τη βάση, η οποία τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο Η. Το «χρυσό ορθογώνιο» είναι το ΑΗΘΔ. Ισχύει:

\(\frac{A\mathrm{Η}}{A\Delta} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi \approx 1{,}61803\ldots\)

Το ορθογώνιο αυτό έχει μία ασυνήθιστη ιδιότητα: αν αφαιρέσουμε από το χρυσό ορθογώνιο το αρχικό τετράγωνο, τότε αυτό που απομένει είναι πάλι χρυσό ορθογώνιο.

Πολλοί αρχιτέκτονες θεωρούσαν ότι τα χρυσά ορθογώνια, στα οποία ο λόγος μεταξύ του μήκους και του πλάτους ήταν φ, έχουν ιδιότητες πιο αρμονικές από άλλα. Μία χαρακτηριστική περίπτωση είναι ο Παρθενώνας.

Το αέτωμα του Παρθενώνα προσαρμόζεται με εξαιρετική ακρίβεια στο «χρυσό ορθογώνιο».

Εκτός από την κλασική αρχαιότητα, κατά περίοδο της Αναγέννησης δημιουργήθηκαν με βάση τη χρυσή τομή τα ζωγραφικά έργα του Λεονάρντο ντα Βίντσι (1452 –1519), του Μιχαήλ Άγγελου (1475 –1564), του Σάντσιο Ραφαήλ (1483 – 1520) και του Σάντρο Μποτιτσέλι (1445 –1510). Αριστουργήματα της Τέχνης όπως η «Μόνα Λίζα» του Λεονάρντο ντα Βίντσι και η «Γέννηση της Αφροδίτης» του Μποτιτσέλι παρουσιάζουν υψηλό βαθμό προσαρμογής στον χρυσό αριθμό φ.

Η χρυσή τομή χρησιμοποιείται και από μεταγενέστερους καλλιτέχνες όπως είναι για παράδειγμα οι Joseph Mallord William Turner (1775 – 1851), Georges-Pierre Seurat (1859–1891), Piet Mondrian (1872 – 1944), Grant Wood (1891–1942) και Salvador Dalí (1904 –1989). Επιπλέον, υψηλής αισθητικής αξίας ζωγραφικά έργα όπως «το Κάστρο του Norham στην Ανατολή του ηλίου» του Joseph Mallord William Turner, οι «Λουόμενοι» του Georges-Pierre Seurat και το «Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» του Salvador Dalí χρησιμοποιούν μεταξύ άλλων και τη χρυσή τομή.

Ο Piet Mondrian (1872 –1944) ζωγράφιζε πίνακες χρησιμοποιώντας ορθογώνια παραλληλόγραμμα. H «Πλατεία Ομονοίας» (Place de la Concorde, Paris) είναι ένας γραμμικός, αφηρημένος πίνακας που περιέχει «χρυσά ορθογώνια». Τουλάχιστον τρία από αυτά διακρίνονται καθαρά στο ακόλουθο σχήμα: ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, ΚΛΜΝ. Πιθανότατα δεν γίνονταν αντιληπτά. Ο ίδιος ο Mondrian δεν αποσαφηνίζει την έννοια των σχημάτων του. Όταν ρωτήθηκε αν ζωγραφίζει αποκλειστικά τετράγωνα αποκρίθηκε: «Τετράγωνα; Μα δεν βλέπω τετράγωνα στους πίνακές μου».

Οι πίνακες του Mondrian παρέχουν εύκολους και ευχάριστους τρόπους για να ανακαλύπτουμε και να μαθαίνουμε τα γεωμετρικά σχήματα. Σε λευκό χαρτί με τη βοήθεια χάρακα σχεδιάζουμε ορθογώνια, μικρότερα και μεγαλύτερα. Χρωματίζουμε μερικά από αυτά με τα βασικά χρώματα. Τα υπόλοιπα τα αφήνουμε λευκά. Με μετρήσεις και λεπτή παρατήρηση μπορούμε να ανακαλύψουμε τα πιθανώς κρυμμένα «χρυσά ορθογώνια».

Αν οι καλλιτέχνες επιλέγουν τη χρυσή τομή για αισθητικούς λόγους, τι μπορούμε να πούμε για τη φύση που «κατασκευάζει» πλήθος μαθηματικών δομών; Οι μαθηματικές ιδιότητες του χρυσού λόγου βρίσκουν εφαρμογές σε ένα πλήθος φυσικών φαινομένων που η ποικιλία τους πολλές φορές προκαλεί τον θαυμασμό μας και δημιουργεί ατμόσφαιρα μυστηρίου. Η λογαριθμική σπείρα εμφανίζεται σε κοχύλια πολλών θαλάσσιων οργανισμών όπως ο ναυτίλος, στους κυκλώνες και τους σπειροειδείς γαλαξίες. Ο χρυσός αριθμός φ συναντάται συχνά στα θαυμαστά δημιουργήματα της φύσης, στις αναλογίες του προσώπου μας, του σώματός μας, στα λουλούδια και στα φυτά, στους ζωντανούς οργανισμούς, στις κερήθρες των μελισσών, ακόμα και στη δομή του σύμπαντος και στις τροχιές των πλανητών.

Εν κατακλείδι, η χρυσή τομή, είναι ένας από τους τρόπους έκφρασης του ωραίου που συναντούμε στη Φύση και την Τέχνη. Όσο περισσότερο οι αναλογίες πλησιάζουν προς τον αριθμό 1,618 τόσο πιο ωραίο θεωρείται ένα φυσικό ή ανθρώπινο δημιούργημα. Ο χρυσός λόγος αναδεικνύει την ομορφιά των Μαθηματικών καθώς και τα Μαθηματικά της ομορφιάς στη Φύση και την Τέχνη!

Ερωτήματα για περαιτέρω σκέψη και δημιουργική διερεύνηση

α) Η χρυσή τομή εμφανίζεται σε τόσο διαφορετικά πεδία: από τα όστρακα των θαλάσσιων οργανισμών μέχρι τις προσόψεις ναών και τους πίνακες ζωγραφικής. Τι σημαίνει για εσάς το γεγονός ότι το ίδιο μαθηματικό πρότυπο επανεμφανίζεται τόσο συχνά στη φύση και στην ανθρώπινη δημιουργία; Θα μπορούσε αυτό να σημαίνει ότι τα Μαθηματικά είναι κάτι περισσότερο από μια σχολική ύλη; Μήπως είναι ένα «κρυφό» εργαλείο με το οποίο κατανοούμε τον κόσμο;

β) Αν ήσασταν καλλιτέχνης ή αρχιτέκτονας, με ποιον τρόπο θα ενσωματώνατε τη χρυσή τομή σε ένα δικό σας έργο; Πιστεύετε ότι η χρήση μαθηματικών αναλογιών κάνει ένα έργο πιο όμορφο; Ή η ομορφιά είναι κάτι υποκειμενικό, που δεν μπορεί να μετρηθεί; Μπορείτε να σκεφτείτε ένα σύγχρονο αντικείμενο (π.χ. κινητό τηλέφωνο, λογότυπο, κτίριο) όπου ίσως να εφαρμόζεται η χρυσή τομή;

γ) Ο αριθμός φ δεν τελειώνει ποτέ και δεν μπορεί να γραφτεί με ακρίβεια. Πώς αισθάνεστε όταν συνειδητοποιείτε ότι ένας τέτοιος "ατελείωτος" αριθμός μπορεί να οδηγεί σε τόσο αρμονικά και όμορφα αποτελέσματα; Τι ρόλο παίζει το άπειρο στα Μαθηματικά και στη φαντασία μας; Μπορεί ένα άπειρο κλάσμα ή ρίζα να έχει εφαρμογή σε κάτι τόσο απτό όπως ένα κτίριο ή ένα λουλούδι;

Βιβλιογραφία

• Cleyet-Michaud, M. (2019). Le nombre d'or. Que sais-je? PUF.
• Dunlap, R. A. (1997). The golden ratio and Fibonacci numbers. World Scientific.
• Huntley, H. E. (2012). The divine proportion. Courier Corporation.
• Katz, V. (2004). A history of Mathematics. Pearson.
• Livio, M. (2008). The golden ratio: The story of phi, the world's most astonishing number. Crown.
• Meisner, G. B. (2018). The golden ratio: The divine beauty of mathematics. Race Point Publishing.
• Moser, W. (1973). Shapes, Space, and Symmetry by Alan Holden, and: The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty by HE Huntley. Leonardo, 6(1), 79-79.
• Markowsky, G. (1992). Misconceptions about the golden ratio. The college mathematics journal, 23(1), 2-19.
• Neveux, M. & Huntley, H. E. (1995). Radiographie d'un mythe suivi de, La divine proportion. Ed. du Seuil.
• Walser, H. (2001). The golden section. Mathematical Association of America.
• Struik, D. (1982). Συνοπτική Ιστορία των Μαθηματικών. Ι. Ζαχαρόπουλος: Αθήνα.
• Επιστημονική Βιβλιοθήκη Λάιφ (1976). Μαθηματικά, Λύκειος Απόλλων.
• Τουμάσης, Μ. & Μπατέλης, Χ. (1989). Χρυσά Γεωμετρικά Σχήματα. Ευκλείδης Β΄, 2, 3-8. Αθήνα: Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία.
• Χριστιανίδης Γ. (2003). Θέματα από την Ιστορία των Μαθηματικών. Αιγυπτιακά, Βαβυλωνιακά και Ελληνικά Μαθηματικά. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης