Ενημερωτικό σημείωμα

Η Αριθμητική είναι ο θεμελιώδης κλάδος των Μαθηματικών. Ασχολείται με τους αριθμούς και τις βασικές πράξεις που μπορούμε να κάνουμε με αυτούς. Υπολογισμοί που γίνονται στο πλαίσιο της Αριθμητικής αφορούν μεμονωμένες περιπτώσεις αριθμών. Για παράδειγμα αν ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 50 km/h, τότε σε 2 ώρες θα διανύσει απόσταση 100 km (50×2=100). Αν κινείται με ταχύτητα 100 km/h, τότε σε 3 ώρες θα διανύσει 300 km (100×3=300).

Η Άλγεβρα είναι ένα επόμενο βήμα στα Μαθηματικά και μας βοηθά να λύσουμε προβλήματα που περιέχουν άγνωστους αριθμούς. Η Άλγεβρα είναι γενίκευση της Αριθμητικής. Στην Άλγεβρα χρησιμοποιούμε γράμματα (όπως x ή y) τα οποία παριστάνουν αριθμούς. Η γενική σχέση που χρησιμοποιείται για την περιγραφή των παραπάνω παραδειγμάτων είναι η ακόλουθη:

Απόσταση που διανύθηκε=ταχύτητα × χρόνος που απαιτήθηκε

Η σχέση αυτή συμβολικά γράφεται ως εξής:

s=υt, όπου s η απόσταση, υ η ταχύτητα και t ο χρόνος.

Πρόκειται για μία εξίσωση, που χρησιμοποιείται στην καθημερινή ζωή και τις Φυσικές Επιστήμες, στην οποία τα μεγέθη s, υ και t λαμβάνουν οποιαδήποτε τιμή από μια συγκεκριμένη περιοχή. Μία έκφραση όπως η προηγούμενη είναι μια ισότητα αλγεβρικών παραστάσεων πολύ πιο γενική από μια αριθμητική ισότητα. Μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πρόβλημα περιλαμβάνει απόσταση, ταχύτητα και χρόνο. Αυτός ο τρόπος χειρισμού εκφράσεων που περιέχουν «άγνωστες» ποσότητες αποτελεί το κύριο χαρακτηριστικό της Άλγεβρας.

Η Άλγεβρα είναι ένας κλάδος των Μαθηματικών που χρησιμοποιεί όχι μόνο αριθμούς, αλλά και γράμματα. Οι μεταβλητές χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν αριθμούς και άγνωστες ποσότητες. Οι μεταβλητές «κρατούν» θέσεις που μπορούν να αντικατασταθούν από αριθμούς ή μεγέθη. Στην πιο γενική της μορφή, η Άλγεβρα είναι η μελέτη των μαθηματικών δομών, των συμβόλων και των κανόνων συμβολικού χειρισμού.

Στην προοπτική της διαφύλαξης και υπέρβασης των κατακτήσεων της Αριθμητικής στο παρόν κεφάλαιο θα μελετήσουμε τις κανονικότητες, τις αλγεβρικές παραστάσεις και τις εξισώσεις.

Θα γνωρίσουμε τη χρήση των αλγεβρικών τύπων. Οι άνθρωποι χρησιμοποιούν αλγεβρικούς τύπους στην καθημερινή ζωή για να επιλύσουν προβλήματα.

Ένας εργαζόμενος μπορεί να χρησιμοποιήσει έναν τύπο για να υπολογίσει πόσα χρήματα θα πάρει από την εργασία που προσφέρει. Θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει έναν τύπο όπως

Α = Ω·Χ

όπου Α είναι η αμοιβή, Ω είναι το ωρομίσθιο (ποσό που καταβάλλεται ανά ώρα) και Χ είναι ο αριθμός των ωρών εργασίας.

Εν κατακλείδι, η Αριθμητική είναι σημαντική γιατί με αυτήν αναπτύσσουμε τις βασικές δεξιότητες που χρειαζόμαστε για να εκτελούμε καθημερινές δραστηριότητες και να κατανοούμε απλά μαθηματικά προβλήματα. Η Άλγεβρα είναι σημαντική γιατί μας διδάσκει πώς να λύνουμε πιο σύνθετα προβλήματα για να κατανοήσουμε τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών. Η Άλγεβρα είναι το θεμέλιο για πιο προχωρημένα μαθηματικά και επιστημονικά θέματα.

Σε αυτό το κεφάλαιο θα μάθουμε πώς να αντικαθιστούμε αριθμούς σε αλγεβρικές παραστάσεις. Θα ξεκινήσουμε με τις κανονικότητες που είναι ο συνδετικός κρίκος ανάμεσα στην Αριθμητική και την Άλγεβρα.

Ερωτήματα για περαιτέρω σκέψη και διερεύνηση

α) Το κείμενο αναφέρει ότι «η Άλγεβρα είναι γενίκευση της Αριθμητικής» και ότι μας βοηθά να λύσουμε προβλήματα με άγνωστους αριθμούς. Μπορείς να φανταστείς μια καθημερινή κατάσταση, όπως το να οργανώσεις ένα ταξίδι, να φτιάξεις κάτι με τα χέρια σου ή να υπολογίσεις τα έξοδα μιας αγοράς, όπου η Άλγεβρα θα σου ήταν χρήσιμη; Ποια είναι τα πλεονεκτήματα της χρήσης γραμμάτων αντί συγκεκριμένων αριθμών;

β) Οι αλγεβρικοί τύποι όπως το s = υ·t ή Α = Ω·Χ μας δείχνουν σχέσεις ανάμεσα σε ποσότητες. Ποιον τύπο ή εξίσωση έχεις συναντήσει σε μάθημα Φυσικής, Τεχνολογίας ή άλλο που σε βοήθησε να κατανοήσεις πώς λειτουργεί κάτι στον κόσμο γύρω σου; Πώς σε βοηθά η χρήση τέτοιων τύπων να προβλέπεις ή να υπολογίζεις αποτελέσματα χωρίς να χρειάζεται να κάνεις πολλές δοκιμές;

γ) Η Άλγεβρα θεωρείται θεμέλιο για τα προχωρημένα Μαθηματικά, αλλά και για την κατανόηση του τρόπου με τον οποίο λειτουργεί ο κόσμος. Πιστεύεις ότι η κατανόηση της Άλγεβρας μπορεί να σου φανεί χρήσιμη πέρα από τα σχολικά μαθήματα; Ποια επαγγέλματα ή δραστηριότητες θα μπορούσαν να απαιτούν αλγεβρικό τρόπο σκέψης και γιατί;