Ιστορικό σημείωμα

Οι πολιτισμικές ρίζες της Άλγεβρας ανάγονται σε δύο επιφανείς μαθηματικούς: τον Διόφαντο και τον Αλ−Χουαρίζμι.

Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς ήταν Έλληνας μαθηματικός του τρίτου αιώνα μ. Χ., ο οποίος έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Αποκαλείται «πατέρας της Άλγεβρας» εξαιτίας του εμβληματικού έργου του «Αριθμητικά», όπου περιέχονται προβλήματα Αριθμητικής τα οποία λύνονται σήμερα με εξισώσεις και συστήματα πρώτου και δευτέρου βαθμού. Καθιέρωσε έναν τύπο σύντομου μαθηματικού συμβολισμού στη γραφή προβλημάτων. Ο Διόφαντος ήταν ο πρώτος Έλληνας μαθηματικός που αναγνώρισε τους θετικούς ρητούς αριθμούς και ασχολήθηκε με την επίλυση εξισώσεων με πολλούς αγνώστους. Σήμερα «διοφαντικές» καλούνται οι αλγεβρικές εξισώσεις με ακέραιους συντελεστές των οποίων ζητούνται οι ακέραιες λύσεις.

Το εξώφυλλο της έκδοσης των Αριθμητικών του 1621, σε λατινική μετάφραση του Κλοντ ντε Μεζιριάκ

Ο Αλ−Χουαρίζμι (Al−Khwarizmi) είναι Πέρσης μαθηματικός του 9ου αιώνα που μοιράζεται με τον Διόφαντο την τιμή για την καταγωγή της Άλγεβρας. Η Άλγεβρα προέρχεται από τη λέξη al−jabr, που ήταν μέρος του τίτλου του πιο διάσημου βιβλίου του. Σημαίνει απλούστευση και περιγράφει έναν μετασχηματισμό που επιτρέπει την επίλυση μιας εξίσωσης. Ο Αλ−Χουαρίζμι εισήγαγε για πρώτη φορά θεμελιώδεις αλγεβρικές μεθόδους και περιέγραψε αναλυτικά την επίλυση εξισώσεων μέχρι και δεύτερου βαθμού με έναν άγνωστο. Κατά την επίλυση των εξισώσεων χρησιμοποίησε τις μεθόδους: al−jabr και al−muqàbala.

Μία σελίδα από την Άλγεβρα (al−jabr) του Αλ−Χουαρίζμι

Al−jabr στα αραβικά, σημαίνει «επανένωση των χωρισμένων μερών». O Αλ−Χουαρίζμι έδωσε βαρύνουσα σημασία στη μετακίνηση ποσοτήτων με αρνητικό πρόσημο από το ένα μέλος της εξίσωσης στο άλλο με αλλαγή του προσήμου και στη συνέχεια αναγωγή των όμοιων όρων για την έκφραση αυτών σε απλούστερη μορφή.

Παράδειγμα:

Al−muqàbala στην καθημερινή γλώσσα, σημαίνει «εξισορρόπηση». Η μέθοδος αυτή συνίσταται στην αφαίρεση της ίδιας ποσότητας και από τα δύο μέλη μιας εξίσωσης και την αλληλοαναίρεση των αντίθετων όρων.

Παράδειγμα:

Η λέξη al−jabr έγινε άλγεβρα στα λατινικά και στη συνέχεια σε άλλες ευρωπαϊκές γλώσσες. Ωστόσο, η σημερινή Άλγεβρα δεν μοιάζει με όσα έκανε ο Al−Khwarizmi καθώς ο αλγεβρικός συμβολισμός δεν είχε εφευρεθεί εκείνη την εποχή. Όλοι οι υπολογισμοί γίνονταν στην καθημερινή γλώσσα ή με τη χρήση διαγραμμάτων. Οι βάσεις του σύγχρονου αλγεβρικού συμβολισμού εισήχθησαν από τον μαθηματικό François Viète καθιστώντας τους υπολογισμούς πιο εύκολους. Το 1591 δημοσίευσε ένα μικρό έργο 18 σελίδων με τον τίτλο «Η νέα Άλγεβρα» στο οποίο συμβόλιζε τα ζητούμενα μεγέθη με φωνήεντα και τις γνωστές ποσότητες με σύμφωνα. Στόχος του ήταν η «επίλυση κάθε προβλήματος». Μέχρι τον Viète οι τύποι εισάγονταν γεωμετρικά. Η εγγράμματη Άλγεβρα επέτρεψε τη διενέργεια αποδείξεων μέσω αλγεβρικών υπολογισμών. Ακολούθησε ο René Descartes, ο οποίος το 1637 έγραψε το σπουδαίο έργο «La Géométrie» το οποίο καθόρισε την πορεία των σύγχρονων μαθηματικών. Συνέδεσε την Άλγεβρα με τη Γεωμετρία, χρησιμοποιώντας εργαλεία της Άλγεβρας στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων και θεωρείται ο θεμελιωτής της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Ο Descartes επινόησε τη σύμβαση στα Μαθηματικά να χρησιμοποιούμε τα τελευταία γράμματα της αλφαβήτου για τους άγνωστους συντελεστές μιας εξίσωσης (x, y, z) και τα πρώτα γράμματα για τους γνωστούς (a, b, c).

Ερωτήματα για περαιτέρω σκέψη και διερεύνηση

α) Το κείμενο αναφέρει τον Διόφαντο και τον Αλ-Χουαρίζμι ως τους δύο επιφανείς μαθηματικούς που έθεσαν τις βάσεις της Άλγεβρας. Παρόλο που έζησαν σε διαφορετικές εποχές και πολιτισμούς, ποιες ήταν οι κοινές τους συνεισφορές που τους καθιστούν "πατέρες της Άλγεβρας"; Ποιες είναι οι βασικές διαφορές στην προσέγγισή τους, όπως περιγράφονται στο κείμενο;

β) Το κείμενο εξηγεί τις έννοιες "al-jabr" και "al-muqàbala" που χρησιμοποιούσε ο Αλ-Χουαρίζμι. Πώς αυτές οι αρχαίες μέθοδοι, που αρχικά περιγράφονταν στην καθημερινή γλώσσα, αντιστοιχούν σε σύγχρονες αλγεβρικές πράξεις που χρησιμοποιείτε σήμερα; Μπορείτε να σκεφτείτε ένα δικό σας παράδειγμα εξίσωσης και να δείξετε πώς θα εφαρμόζατε αυτές τις δύο μεθόδους;

γ) Ο Φρανσουά Βιέτ και ο Ρενέ Ντεκάρτ έφεραν επανάσταση στην Άλγεβρα εισάγοντας τον σύγχρονο συμβολισμό και συνδέοντας την Άλγεβρα με τη Γεωμετρία. Πώς πιστεύετε ότι η ανάπτυξη ενός συστηματικού αλγεβρικού συμβολισμού (π.χ., η χρήση γραμμάτων για αγνώστους) επηρέασε την εξέλιξη των Μαθηματικών; Γιατί ήταν σημαντική η σύνδεση της Άλγεβρας με τη Γεωμετρία, όπως έκανε ο Ντεκάρτ, και πώς αυτή η σύνδεση άλλαξε τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε και επιλύουμε τα μαθηματικά προβλήματα;