Διερεύνηση 3
Εργασία μαθητών κατά ζεύγη ή μικρές ομάδες:
Να σχεδιάσετε τυχόντα πολύγωνα παρόμοια με την εικόνα.
Να βρείτε το άθροισμα των εσωτερικών τους γωνιών τεμαχίζοντας
αυτά τα πολύγωνα σε τρίγωνα και συνδέοντας τις κορυφές. Να
συγκεντρώσετε τα αποτελέσματά σας σε έναν πίνακα που περιέχει
το πλήθος των γωνιών και το αντίστοιχο άθροισμα των γωνιών. Να
γίνει η διερεύνηση με πολύγωνα για ν=4 , ν=5, κ.λπ. με
κατασκευή αντίστοιχου πίνακα ώστε να διατυπωθεί η εικασία
| ν | Όνομα πολυγώνου | Άθροισμα εσωτερικών γωνιών |
|---|---|---|
| 3 | Τρίγωνο | (3−2)⋅180=180° |
| 4 | Τετράπλευρο | (4−2)⋅180=360° |
| 5 | Πεντάγωνο | (5−2)⋅180=540° |
| 6 | Εξάγωνο | (6−2)⋅180=720° |
| 7 | Επτάγωνο | ……….. |
| 8 | Οκτάγωνο | ……….. |
| 9 | Εννιάγωνο | ……….. |
Από τον παραπάνω πίνακα παρατηρούμε για τα συγκεκριμένα πολύγωνα, ότι για το άθροισμα \(Σ_ν\) των εσωτερικών γωνιών τους ισχύει: \(\mathbf{Σ_ν = (ν-2)\cdot180°}\)
Αποδεικνύεται ότι ο τύπος αυτός ισχύει για οποιοδήποτε πολύγωνο και με τη βοήθειά του μπορούμε να υπολογίσουμε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών για οποιοδήποτε ν-γωνο, χωρίς να χρειάζεται να μετρήσουμε τις γωνίες.
- Να υπολογίσετε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός 15-γώνου.
- Πόσες γωνίες έχει ένα πολύγωνο με άθροισμα γωνιών 9.000°;
- Υπάρχει πολύγωνο με άθροισμα γωνιών 1.890°;