Ιστορικό σημείωμα

Η έννοια της συνάρτησης είναι μια από τις θεμελιώδεις έννοιες στα μαθηματικά η οποία εξελίχτηκε σιγά-σιγά στη διάρκεια των αιώνων. Η εν λόγω έννοια, ως έκφραση μιας εξάρτησης ανάμεσα σε δύο ποσότητες που συμμεταβάλλονται, εμφανίζεται μ’ έναν υπονοούμενο τρόπο, ήδη από πολύ παλιά. Ας κάνουμε μια σύντομη περιήγηση στην ιστορία και την ανάπτυξη αυτής της κεντρικής μαθηματικής ιδέας.

Πολύ νωρίς οι Βαβυλώνιοι (γύρω στο 1800 π.Χ.) συνέταξαν και χρησιμοποίησαν για τις αστρονομικές τους παρατηρήσεις πίνακες, οι οποίοι τους βοήθησαν να διατυπώσουν τους πρώτους εμπειρικούς νόμους των πλανητών. Η Πλάκα 322 του Plimpton παρουσιάζει σε μορφή πίνακα τα μήκη των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Μπορούμε να πούμε ότι τότε εμφανίζεται για πρώτη φορά η έννοια της συνάρτησης με μορφή πινάκων.

Στην κλασσική αρχαιότητα, οι μαθηματικοί, όπως ο Ευκλείδης, ασχολήθηκαν κυρίως με τη Γεωμετρία και λιγότερο με την έννοια της συνάρτησης όπως την γνωρίζουμε σήμερα. Ωστόσο, ανέπτυξαν θεωρίες για τις αναλογίες και τις γραμμικές σχέσεις, που μπορούν να θεωρηθούν πρόδρομοι της σύγχρονης έννοιας της συνάρτησης. Επιπλέον, βρίσκουμε καταγραφές δεδομένων σε πίνακες. Στις εργασίες του Αρχιμήδη ενυπάρχει η έννοια της συνάρτησης, χωρίς όμως ιδιαίτερη αναφορά στην έννοια. Εδώ θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι Αρχαίοι Έλληνες ενδιαφέρονταν περισσότερο για τις μορφές των αντικειμένων παρά για τις μεταβολές τους. Πολύ αργότερα ο Έλληνας μαθηματικός και αστρονόμος της αλεξανδρινής περιόδου Κλαύδιος Πτολεμαίος (128-168 μ. Χ.), καταχώρησε τους πίνακες χορδών της "Αλμαγέστης". Στη μία στήλη αυτών των πινάκων υπάρχουν τα μήκη των τόξων ενός κύκλου και στην άλλη τα μήκη των αντίστοιχων χορδών.

Κατά τη διάρκεια της ισλαμικής περιόδου, οι μαθηματικοί όπως ο Al-Khwarizmi (780 – 850 μ. Χ.) και ο Omar Khayyam (1048-1131) έκαναν σημαντικές προόδους στην άλγεβρα και τη θεωρία των εξισώσεων, συμβάλλοντας έμμεσα στην ανάπτυξη της έννοιας της συνάρτησης.

Στην ουσία, η έννοια της συνάρτησης δεν προήλθε από τα Μαθηματικά, αλλά εμπειρικά από τις φυσικές επιστήμες. Η άνθιση των μαθηματικών και φυσικών επιστημών κατά τον 17ο αιώνα οδήγησε τους ανθρώπους στη μελέτη των μεταβολών και ιδιαίτερα αυτών που προκύπτουν από τις κινήσεις. Για να εκφραστούν με μαθηματική γλώσσα οι μεταβολές των μεγεθών που παρουσιάζονται στην εξέταση ενός φαινομένου, έγινε εισαγωγή στη μαθηματική επιστήμη της έννοιας της μεταβλητής. Αποφασιστική ώθηση στην ανάπτυξη της έννοιας της συνάρτησης έδωσαν η δημιουργία της Άλγεβρας (χρήση γραμμάτων και ειδικών συμβόλων για την αναπαράσταση μαθηματικών πράξεων, σχέσεων, αγνώστων κ.λπ.) και της Αναλυτικής γεωμετρίας (χρήση του αλγεβρικού συμβολισμού σε γεωμετρικά προβλήματα).

Οι Γάλλοι μαθηματικοί Pierre de Fermat (1601-1665) και René Descartes (1596-1650) έκαναν ουσιαστική διάκριση μεταξύ σταθερών και μεταβλητών μεγεθών. Στις εργασίες με μεταβλητές παρουσιάστηκε η ανάγκη της εισαγωγής νέων εννοιών για την περιγραφή της εξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών. Ο René Descartes (1596-1950), στο έργο του "La Geometrie" (1637), στη μέθοδο προσδιορισμού μιας καμπύλης από μια εξίσωση ως προς x και y περιέγραψε για πρώτη φορά τη δυνατότητα αναλυτικής έκφρασης μιας σχέσης εξάρτησης ανάμεσα σε μεταβλητές ποσότητες. Αυτή η εργασία έθεσε τα θεμέλια για την έννοια της συνάρτησης.

Ο όρος αυτός άρχισε να αποκτά από εκείνη την εποχή μια ιδιαίτερη σημασία για την παράσταση ποσοτήτων που εξαρτώνται από άλλες μεταβλητές ποσότητες, ιδιαίτερα όταν η εξάρτηση αυτή μπορεί να πάρει τη μορφή μιας αναλυτικής έκφρασης. Ο J. Bernoulli (1655-1705) έδωσε το 1718 τον επόμενο γενικό ορισμό:

«Ονομάζω συνάρτηση ενός μεταβλητού μεγέθους μια ποσότητα που σχηματίζεται με οποιονδήποτε τρόπο από αυτό το μεταβλητό μέγεθος και από σταθερές».

Ο Pierre de Fermat, Gottfried Wilhelm Leibniz και οLeonhard Euler.

Ο Isaac Newton (1643-1727) και ο Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ανέπτυξαν τον απειροστικό λογισμό, ο οποίος χρησιμοποιεί συναρτήσεις για να περιγράψει την κίνηση και την αλλαγή. Πρώτος χρησιμοποίησε τον όρο «συνάρτηση» για να εκφράσει διάφορες καταστάσεις ή σχέσεις ο Γερμανός φιλόσοφος και μαθηματικός Gottfried Wilhelm Leibniz. Από τις εργασίες πολλών μαθηματικών διαμορφώθηκε τελικά το περιεχόμενο της νέας έννοιας. Η αντίληψη της συνάρτησης ως "αναλυτικής έκφρασης" κυριάρχησε για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα. Στα 1748 ο Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler (1707-1783), στο έργο του "Εισαγωγή στην απειροστική ανάλυση", έδωσε τον παρακάτω ορισμό της συνάρτησης:

«Συνάρτηση μιας μεταβλητής ποσότητας ονομάζεται μια αναλυτική έκφραση που σχηματίζεται με οποιονδήποτε τρόπο από αυτή τη μεταβλητή ποσότητα και αριθμούς ή σταθερές ποσότητες».

Ο Euler χρησιμοποίησε το σύμβολο f(x) και μίλησε για διάφορα είδη συναρτήσεων.

Με την ανάπτυξη της θεωρίας συνόλων η συνάρτηση ορίστηκε από τον Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) ως αυθαίρετη αντιστοιχία ανάμεσα στα στοιχεία δύο συνόλων, η οποία δεν ακολουθεί υποχρεωτικά έναν "νόμο". Το σημείο αυτό είχε επισημανθεί επίσης ρητά από τον Joseph Fourier (1768-1830), ο οποίος ανέπτυξε τη θεωρία των σειρών Fourier, δείχνοντας ότι οι συναρτήσεις μπορούν να αναλυθούν σε ημιτονοειδείς συνημιτονοειδείς συνιστώσες.

Πρόκειται για αντιστοιχία που δεν βασίζεται απαραίτητα στη συμμεταβολή των x και y. Σύμφωνα με τον Euler (1725):

«μια ποσότητα ονομάζεται συνάρτηση, όταν εξαρτάται από μια άλλη ποσότητα με τέτοιο τρόπο, ώστε εάν η τελευταία ποσότητα αλλάζει, η πρώτη ποσότητα να αλλάζει από μονή της».

Ενώ αρχικά για τον Euler συναρτήσεις ήταν μόνο οι αναλυτικές εκφράσεις (π.χ. \(f(x) = x^2 - 3x + 2\)) στη συνέχεια αποδείχθηκε την ύπαρξη συναρτήσεων, που δεν έχουν αναλυτική έκφραση, αλλά μπορούν να παρασταθούν από μία ελεύθερη γραφική παράσταση.

Ο Karl Weierstrass έθεσε τις βάσεις για τη σύγχρονη θεωρία των συναρτήσεων, ορίζοντας με ακρίβεια τι σημαίνει όριο και μια συνεχής συνάρτηση. Ο David Hilbert) και άλλοι στη δεκαετία του 20ού αιώνα, επέκτεινε τη μελέτη των συναρτήσεων στην ανάπτυξη της συναρτησιακης ανάλυσης και των διαστημάτων Hilbert, που έχουν σημαντικές εφαρμογές στη Φυσική και την Πληροφορική.

Σήμερα, η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, από την Ανάλυση μέχρι την Αλγεβρική Γεωμετρία και τη Θεωρία Αριθμών. Οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται επίσης ευρέως στις εφαρμοσμένες επιστήμες, όπως στη Μηχανική και στην Οικονομία, για τη μοντελοποίηση και την ανάλυση συστημάτων και φαινομένων.

Οι συναρτήσεις με όλες τις πτυχές τους είναι η καρδιά όλων των επιστημών. Οι συναρτήσεις έφεραν στο φως μια ποικιλία εκπληκτικών ανακαλύψεων και συνέβαλαν στην επίλυση πολυάριθμων προβλημάτων τα οποία πριν ήταν απροσπέλαστα.

Μερικά παραδείγματα:

• Η μορφή που δίνεται σε ένα φράγμα (1η εικόνα: φράγμα λίμνης Πλαστήρα) είναι καρπός εξειδικευμένων μελετών με βάση τις συναρτήσεις: πρέπει να ληφθεί υπόψη η αντίσταση των τοιχωμάτων του φράγματος στα ύδατα της λίμνης, να ρυθμιστεί η παροχή νερού, κ.λπ.
• Οι θαυμάσιες εικόνες που κατασκευάστηκαν από τον Yoichiro Kawaguchi με λογισμικό ζωγραφικής (2η εικόνα), είναι ένας από τους πρωτοπόρους της γραφιστικής πληροφορικής, όπου χρησιμοποιούνται μαθηματικές συναρτήσεις.
• Τέλος, απεικονίζεται ψηφιακά μία πολύχρωμη αναπαράσταση του γενετικού κώδικα (3η εικόνα). Η ανακάλυψη της διπλής έλικας του DNA, η οποία σχετίζεται με τη μεταβίβαση των κληρονομικών χαρακτηριστικών, έγινε δυνατή με τη βοήθεια της ανάλυσης Fourier και βασίστηκε στην περίθλαση ακτίνων X. Η Αστροβιολογία καταγίνεται με την αναζήτηση εξωγήινης ζωής και τον ρόλο της γενετικής στη διαφοροποίηση των έμβιων όντων και την εξέλιξη.

Η έννοια της συνάρτησης είναι μία από τις πιο σημαντικές έννοιες των Μαθηματικών αλλά και των περισσότερων επιστημονικών κλάδων. Μετά τον 18ο αιώνα άλλαξε τα Μαθηματικά που ξέραμε. Σήμερα το βασικό αντικείμενο που διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους δεν είναι πλέον ο αριθμός, αλλά η μεταβολή και η συνάρτηση. Τα Μαθηματικά δεν εμπλουτίστηκαν απλώς με νέες μεθόδους, αλλά άλλαξαν ριζικά.

Ερωτήματα για περαιτέρω σκέψη και διερεύνηση

α) Πώς εμφανίστηκε για πρώτη φορά η έννοια της συνάρτησης στην αρχαιότητα και με ποια μορφή;

β) Τι σημαίνει ότι δύο ποσότητες συμμεταβάλλονται; Μπορείς να δώσεις ένα παράδειγμα από την καθημερινή ζωή;

γ) Πώς συνέβαλε η ανάπτυξη της Άλγεβρας και της Αναλυτικής Γεωμετρίας στην κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης;

Βιβλιογραφία

• Katz, V. (2004). A history of Mathematics. Pearson.
• Kronfellner M. (1995). The History of the Concept of Function and Sum Implications for Classroom Teaching. In F. Swetz, J. Fauvel, O. Bekken, B. Johansonson, & V. Katz (Eds), Learn from the Masters (pp. 317-320). The Mathematical Association of America.
• Struik, D. (1982). Συνοπτική Ιστορία των Μαθηματικών. Ι. Ζαχαρόπουλος: Αθήνα.
• Βασάκος, Θ. (1995). Η Έννοια της Συνάρτησης στους Μαθητές του Λυκείου και Ενέργειες Κατανόησης – Εμπόδια που σχετίζονται με τον Ορισμό́ της Συνάρτησης. Στο Α. Γαγάτσης (Εκδ.), Διδακτική́ των Μαθηματικών: Θεωρία και Έρευνα (σσ. 239-257). Θεσσαλονίκη: Art of Text.
• Χριστιανίδης Γ. (2003). Θέματα από την Ιστορία των Μαθηματικών. Αιγυπτιακά, Βαβυλωνιακά και Ελληνικά Μαθηματικά. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.