Ιστορικό σημείωμα

Ο René Descartes (Καρτέσιος) γεννήθηκε στη La Haye της Touraine και πέθανε στη Στοκχόλμη. Σε ηλικία 10 χρόνων εγγράφηκε στο Βασιλικό Κολλέγιο της La Fleche, όπου δίδασκαν Ιησουίτες. Από εκείνη τη στιγμή αρχίζει και το ενδιαφέρον του για τα Μαθηματικά. Στη ζωή του υπήρξε φιλόσοφος, αλλά ένα μεγάλο μέρος του χρόνου του το διέθετε για τα Μαθηματικά. Στα 1637 ο René Descartes δημοσίευσε το έργο «Discours de la méthode» (Περί Μεθόδου Λόγος), ένα έργο που καταχωρήθηκε στα σημαντικότερα του αιώνα του. Στον επίλογο έδωσε τρία συγκεκριμένα παραδείγματα εφαρμογής της μεθόδου του. Το τρίτο από αυτά ήταν μια υποσημείωση 106 σελίδων με τίτλο «La Géométrie» (Η Γεωμετρία), η οποία στους αιώνες που ακολούθησαν επισκίασε το φιλοσοφικό μέρος του έργου του. Η Γεωμετρία άνοιξε έναν νέο κλάδο των Μαθηματικών που αργότερα ονομάστηκε Αναλυτική Γεωμετρία. Ο Descartes διείδε τη δύναμη της Άλγεβρας στη λύση γεωμετρικών προβλημάτων και η σκέψη του αντιπροσώπευε μια ριζική απόκλιση από τη μέχρι τότε επικρατούσα άποψη για τη Γεωμετρία, η οποία βοήθησε στη λύση γεωμετρικών προβλημάτων με αλγεβρικές μεθόδους.

Η ιδέα της χρησιμοποίησης διατεταγμένων ζευγών για τα σημεία ενός επιπέδου και της περιγραφής καμπύλων με εξισώσεις, ανήκει στον René Descartes (1596-1650). Η Γεωμετρία του Descartes προώθησε την ιδέα ότι ένα ζεύγος αριθμών μπορεί να προσδιορίσει τη θέση ενός σημείου στο επίπεδο. Οι δύο αυτοί αριθμοί θα αντιστοιχούν στις αποστάσεις του σημείου από δύο κάθετους άξονες. Φυσικά για τον χώρο των τριών διαστάσεων οι αριθμοί θα είναι τρεις, όσες και οι αντίστοιχες αποστάσεις από τα τρία επίπεδα.

Σύμφωνα με τον θρύλο οι συνθήκες που οδήγησαν τον Descartes σ’ αυτήν την ανακάλυψη, έχουν ως εξής:

Ο Ντεκάρτ έμενε συχνά στο κρεβάτι μέχρι αργά. Ξαπλωμένος παρατηρούσε μια μύγα στο ταβάνι. Αναρωτήθηκε πώς θα μπορούσε να περιγράψει καλύτερα τη θέση της μύγας και αποφάσισε ότι μια από τις γωνίες της οροφής θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ως σημείο αναφοράς. Αναζητώντας έναν τρόπο με τον οποίο θα μπορούσε να προσδιορίζει τη θέση της σε κάθε στιγμή, συνέλαβε την ιδέα ότι η θέση της μύγας θα μπορούσε να δίνεται με από αριθμούς. Φανταστείτε την οροφή σαν ένα ορθογώνιο σχεδιασμένο σε ένα κομμάτι χαρτί: παίρνοντας την αριστερή κάτω γωνία ως σημείο αναφοράς, μπορείτε να καθορίσετε τη θέση της μύγας μετρώντας πόσο μακριά πρέπει να μετακινηθείτε στην οριζόντια κατεύθυνση και πόσο μακριά πρέπει να πάτε στην κατακόρυφη κατεύθυνση για να φτάσετε σε αυτό. Αυτοί οι δύο αριθμοί είναι οι συντεταγμένες της μύγας. Κάθε ζεύγος συντεταγμένων καθορίζει ένα μοναδικό σημείο στην οροφή και κάθε σημείο στην οροφή αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό ζεύγος συντεταγμένων. Οι άξονες μπορούν να επεκταθούν προς τις δύο κατευθύνσεις. Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν αρνητικοί αριθμοί. Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να προσδιορίσετε όλα τα σημεία σε ένα άπειρο επίπεδο.

Η μέθοδος των συντεταγμένων είναι η θεμελιώδης ανακάλυψη, που οφείλει την προέλευσή της στον Descartes και σηματοδότησε την ανάπτυξη των Μαθηματικών. Είναι η μέθοδος που μας επιτρέπει να ορίσουμε την ακριβή θέση ενός σημείου στο επίπεδο με διατεταγμένα ζεύγη (x, y) από πραγματικούς αριθμούς. Το σύστημα των δύο κάθετων αξόνων συμβολίζεται Οxy και ονομάζεται καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, τιμώντας τον μαθηματικό και φιλόσοφο Καρτέσιο (Descartes) που το επινόησε.

• Κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος αριθμών (x, y) και συμβολίζεται Μ(x, y).
• Αντιστρόφως σε κάθε ζεύγος αριθμών (x, y) αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο Μ του επιπέδου.

Προς τιμή του μιλούμε για καρτεσιανές συντεταγμένες και καρτεσιανό σύστημα. Μια ευθεία ή μια καμπύλη μπορούν να θεωρηθούν ως σημειοσύνολα, τα οποία βρίσκονται απείρως κοντά τοποθετημένα μεταξύ τους. Τα σημεία αυτά μπορούν να συσχετιστούν με τη βοήθεια μιας εξίσωσης, η οποία εξαρτάται από τη φύση της γραμμής. Η λύση γεωμετρικών προβλημάτων γίνεται με τη βοήθεια αλγεβρικών μεθόδων ή ακριβέστερα την αναγωγή τους σε προβλήματα της Άλγεβρας.

Ερωτήματα για σκέψη και διερεύνηση

α) Ο René Descartes συνέδεσε την Άλγεβρα με τη Γεωμετρία μέσω της επινόησης των καρτεσιανών συντεταγμένων. Πώς αυτή η σύνδεση άλλαξε τον τρόπο που οι μαθηματικοί εξετάζουν και επιλύουν προβλήματα; Μπορείτε να σκεφτείτε ένα παράδειγμα ενός γεωμετρικού προβλήματος που θα ήταν δύσκολο να λυθεί χωρίς συντεταγμένες, αλλά γίνεται ευκολότερο με τη χρήση τους;

β) Το κείμενο περιγράφει τον "θρύλο" της μύγας στο ταβάνι που οδήγησε τον Descartes στην ιδέα των συντεταγμένων. Πώς αυτή η απλή παρατήρηση της καθημερινότητας μετατράπηκε σε μια τόσο θεμελιώδη μαθηματική ανακάλυψη; Πιστεύετε ότι οι μεγάλες επιστημονικές ανακαλύψεις συχνά πηγάζουν από απλές παρατηρήσεις, ή απαιτούν πάντα πολύπλοκη θεωρητική σκέψη;

γ) Η ανακάλυψη των καρτεσιανών συντεταγμένων επέτρεψε την αναπαράσταση σημείων, ευθειών και καμπυλών με εξισώσεις. Πώς αυτή η δυνατότητα έχει επηρεάσει όχι μόνο τα Μαθηματικά, αλλά και άλλους τομείς, όπως η Φυσική, η Μηχανική, ή ακόμα και η πληροφορική (π.χ. στα γραφικά υπολογιστών); Μπορείτε να διερευνήσετε περαιτέρω και να βρείτε ένα παράδειγμα εφαρμογής των συντεταγμένων σε έναν τομέα που σας ενδιαφέρει;

Βιβλιογραφία

• Brown, D. J. (2006). Descartes and the passionate mind. Cambridge University Press.
• Katz, V. (2004). A history of Mathematics. Pearson.
• Vince, J., & Vince, J. (2015). Coordinate Systems. Foundation Mathematics for Computer Science: A Visual Approach, 95-107.
• Struik, D. (1982). Συνοπτική Ιστορία των Μαθηματικών. Ι. Ζαχαρόπουλος: Αθήνα