Εργασία με προεκτάσεις

Μοντελοποίηση προβλημάτων της καθημερινής ζωής

Στην παρούσα ενότητα, εστιάζουμε στην μοντελοποίηση προβλημάτων της καθημερινής ζωής, αναδεικνύοντας πώς η σχολική γνώση μπορεί να βρει πρακτική εφαρμογή σε ρεαλιστικά πλαίσια τα οποία συνδέονται άμεσα με την καθημερινότητα, την επιστημονική έρευνα, τις τεχνολογικές εφαρμογές και τις σύγχρονες κοινωνικές προκλήσεις. Μέσα από συγκεκριμένα παραδείγματα όπως η διαχείριση θερμοκρασίας σε ψυκτικούς θαλάμους, η διαχείριση εργασιών σε σχολικό έργο, η διαχείριση αποθεμάτων φαρμάκων σε νοσοκομείο, η διαχείριση δεδομένων σε διακομιστή (server), ένας διαγωνισμός Μαθηματικών και ο χρόνος παραγωγής σε εργοστάσιο, θα εξερευνήσουμε τρόπους με τους οποίους τα Μαθηματικά αποτελούν ένα ισχυρό εργαλείο για την κατανόηση και επίλυση σύνθετων καταστάσεων.

Διαχείριση θερμοκρασίας σε ψυκτικούς θαλάμους

Η εταιρεία "Cool Solutions A.E." εγκαθιστά συστήματα ψύξης σε καταστήματα και βιομηχανίες. Ένα σημαντικό μέρος της δουλειάς τους είναι να διασφαλίζουν ότι οι ψυκτικοί θάλαμοι διατηρούν τη σωστή θερμοκρασία με τη μικρότερη δυνατή κατανάλωση ισχύος. Η ισχύς που χρειάζεται ένα ψυκτικό σύστημα εξαρτάται από το πόσο "κρύο" πρέπει να κάνει μέσα σε σχέση με το εξωτερικό περιβάλλον.

Για ένα συγκεκριμένο μοντέλο ψυκτικού θαλάμου, η απαιτούμενη ισχύς, Q (σε κιλοβάτ, kW), για να διατηρηθεί μια διαφορά θερμοκρασίας ΔT (σε βαθμούς Κελσίου, °C) δίνεται από την παρακάτω απλή σχέση:

Q=3⋅ΔT+10

όπου ΔT είναι η διαφορά της θερμοκρασίας του εξωτερικού περιβάλλοντος με την επιθυμητή θερμοκρασία μέσα στον θάλαμο. Για παράδειγμα, αν έξω έχει 25°C και μέσα θέλουμε 5°C, τότε
ΔT=25−5=20°C

α) i. Πόση ισχύς θα χρειαστεί ο ψυκτικός θάλαμος όταν η διαφορά θερμοκρασίας (ΔT) είναι 15 °C;
ii. Αν ο ψυκτικός θάλαμος καταναλώνει 85 kW ισχύος, ποια είναι η διαφορά θερμοκρασίας (ΔT) που διατηρεί;

β) Η εταιρεία "Cool Solutions A.E." εξετάζει δύο νέα, βελτιωμένα μοντέλα ψυκτικών θαλάμων (Μοντέλο Α και Μοντέλο Β) που υπόσχονται καλύτερη απόδοση. Οι σχέσεις για την απαιτούμενη ισχύς για αυτά τα μοντέλα είναι:
• Μοντέλο Α: QA=2,5⋅ΔT+15
• Μοντέλο Β: QB=3⋅ΔT+10

i. Ένας μεγάλος πελάτης χρειάζεται έναν ψυκτικό θάλαμο που θα λειτουργεί με μεγάλη διαφορά θερμοκρασίας, περίπου ΔT=30 °C. Ποιο από τα δύο νέα μοντέλα (Α ή Β) θα προτείνατε, ώστε να έχει ο πελάτης τη μικρότερη κατανάλωση ισχύος;
ii. Για έναν μικρό ψυκτικό θάλαμο που θα λειτουργεί σε ένα σχετικά σταθερό περιβάλλον, όπου η διαφορά θερμοκρασίας (ΔT) είναι συνήθως μικρότερη από 10 °C, ποιο μοντέλο (Α ή Β) είναι πιο αποδοτικό ενεργειακά; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Λύση

α) i. Χρησιμοποιούμε τη δοθείσα σχέση: Q=3⋅ΔT+10. Αντικαθιστούμε ΔT=15:
Q=3⋅15+10
Q=45+10
Q=55 kW.
Ο ψυκτικός θάλαμος θα χρειαστεί 55 kW ισχύος.

ii. Χρησιμοποιούμε πάλι τη σχέση: Q=3⋅ΔT+10. Αντικαθιστούμε Q=85:
85=3⋅ΔT+10
Για να βρούμε το ΔT, λύνουμε την εξίσωση:
85−10=3⋅ΔT ή 75=3⋅ΔT ή ΔT=75/3 ή ΔT=25 °C.
Η διαφορά θερμοκρασίας που διατηρείται είναι 25 °C.

β) i. Υπολογίζουμε την ισχύ για κάθε μοντέλο με ΔT=30 °C:
• Μοντέλο Α: QA=2,5⋅ΔT+15 ή QA=2,5⋅30+15 ή QA=75+15 ή QA=90 kW.
• Μοντέλο Β: QB=3⋅ΔT+10 ή QB=3⋅30+10 ή QB=90+10 ή QB=100 kW.
Συγκρίνουμε τις καταναλώσεις: QA=90 kW και QB=100 kW. Επειδή 90<100, το Μοντέλο Α έχει μικρότερη κατανάλωση ισχύος για ΔT=30 °C.
Θα προτείναμε το Μοντέλο Α για τη μικρότερη κατανάλωση ισχύος.

ii. Εξετάζουμε τις σχέσεις των δύο μοντέλων:
• Μοντέλο Α: QA=2,5⋅ΔT+15
• Μοντέλο Β: QB=3⋅ΔT+10
Θέλουμε να δούμε ποιο είναι καλύτερο όταν το ΔT είναι μικρό (κάτω από 10 °C).
Ας δοκιμάσουμε μια τιμή, π.χ., ΔT=5 °C:
• Μοντέλο Α: QA=2,5⋅5+15=12,5+15=27,5 kW.
• Μοντέλο Β: QB=3⋅5+10=15+10=25 kW.
Σε αυτή την περίπτωση, το Μοντέλο Β είναι καλύτερο (25<27,5).
Ας δούμε πού οι δύο γραμμές "τέμνονται" (πού έχουν την ίδια κατανάλωση):
2,5⋅ΔT+15=3⋅ΔT+10 ή 15−10=3⋅ΔT−2,5⋅ΔT ή 5=0,5⋅ΔT ή ΔT=5/0,5 ή ΔT=10 °C.
Αυτό σημαίνει ότι:
• Για ΔT=10 °C, και τα δύο μοντέλα έχουν την ίδια κατανάλωση.
• Για ΔT>10 °C (όπως στην προηγούμενη ερώτηση), το Μοντέλο Α είναι καλύτερο (έχει μικρότερο συντελεστή στο ΔT).
• Για ΔT<10 °C, το Μοντέλο Β είναι καλύτερο (έχει μικρότερο σταθερό όρο, τον "10").
Για ΔT μικρότερο από 10 °C, το Μοντέλο Β είναι πιο αποδοτικό ενεργειακά.
Για μικρές διαφορές θερμοκρασίας (ΔT), ο σταθερός όρος (το "10" στο Μοντέλο Β και το "15" στο Μοντέλο Α) έχει μεγαλύτερη επίδραση στην συνολική κατανάλωση. Επειδή το Μοντέλο Β έχει μικρότερο σταθερό όρο (10 έναντι 15), είναι πιο οικονομικό όταν η διαφορά θερμοκρασίας είναι μικρή.

Προβλήματα για αυτενέργεια

Α) Διαχείριση εργασιών σε σχολικό έργο

Η Ελένη και ο Άκης εργάζονται σε ένα σχολικό έργο που περιλαμβάνει συνολικά 20 εργασίες. Θέλουν να μοιράσουν τις εργασίες ώστε να είναι δίκαιο για όλους.

α) Κατανομή Εργασιών:
• Η Ελένη αναλαμβάνει το 60% των εργασιών.
• Ο Άκης αναλαμβάνει τις υπόλοιπες εργασίες.
i. Πόσες εργασίες αναλαμβάνει η Ελένη;
ii. Πόσες εργασίες αναλαμβάνει ο Άκης;

β) Χρόνος Ολοκλήρωσης: Για κάθε εργασία που αναλαμβάνει, ο Άκης υπολογίζει ότι χρειάζεται 15 λεπτά για να την ολοκληρώσει.
i. Αν ο Άκης έχει ολοκληρώσει x εργασίες, να γράψετε μια σχέση που να δείχνει τον συνολικό χρόνο T (σε λεπτά) που έχει ξοδέψει για αυτές τις εργασίες.
ii. Αν ο Άκης έχει ήδη ξοδέψει 45 λεπτά, πόσες εργασίες έχει ολοκληρώσει;

Β) Διαχείριση αποθεμάτων φαρμάκων σε νοσοκομείο

Ένα μεγάλο νοσοκομείο παρακολουθεί την ποσότητα ενός φαρμάκου (π.χ., ένα αντιβιοτικό ευρέως φάσματος) στις αποθήκες του, καθώς αυτό καταναλώνεται καθημερινά για τις ανάγκες των ασθενών. Η ποσότητα του φαρμάκου, P (σε χιλιάδες δόσεις), ως συνάρτηση του χρόνου t (σε ημέρες) δίνεται από τον τύπο:

P=1.500−50t

όπου t=0 δηλώνει την αρχή της παρακολούθησης (ημέρα 1) και το t μετριέται σε ημέρες από τότε. Για παράδειγμα, το t=10 σημαίνει 10 ημέρες μετά την έναρξη της παρακολούθησης.

α) Να περιγράψετε τι εκφράζουν, στο πλαίσιο του προβλήματος, οι αριθμοί 1.500 και 50 στον τύπο της συνάρτησης P.

β) Να υπολογίσετε ποια περίπου θα είναι η ποσότητα του φαρμάκου στις αποθήκες του νοσοκομείου την εικοστή ημέρα της παρακολούθησης;

γ) Να υπολογίσετε σε ποια ημέρα (περίπου) η ποσότητα του φαρμάκου στις αποθήκες θα πέσει κάτω από 200 χιλιάδες δόσεις, αν συνεχιστεί ο ίδιος ρυθμός κατανάλωσης;

δ) Να μεταφέρετε σε σύστημα αξόνων και να σχεδιάσετε σε αυτό τη γραφική παράσταση της συνάρτησης P ως συνάρτηση του t. Να ελέγξετε αν το σημείο (30,0) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Αν ναι, να ερμηνεύσετε το σημείο αυτό στο πλαίσιο του προβλήματος που αφορά την ποσότητα του φαρμάκου και την εξάντληση των αποθεμάτων.

Γ) Διαχείριση δεδομένων σε διακομιστή (server)

Μια εταιρεία τεχνολογίας παρακολουθεί την ποσότητα των δεδομένων που αποθηκεύονται σε έναν κεντρικό διακομιστή (server), καθώς αυτή αυξάνεται καθημερινά λόγω της συνεχούς εισροής νέων πληροφοριών και αρχείων. Η ποσότητα των δεδομένων, D (σε Terabytes, TB), ως συνάρτηση του χρόνου t (σε ημέρες) δίνεται από τον τύπο:

D=250+15t

όπου t=0 δηλώνει την αρχή της παρακολούθησης (ημέρα 1) και το t μετριέται σε ημέρες από τότε. Για παράδειγμα, το t=5 σημαίνει 5 ημέρες μετά την έναρξη της παρακολούθησης.

α) Να περιγράψετε τι εκφράζουν, στο πλαίσιο του προβλήματος, οι αριθμοί 250 και 15 στον τύπο της συνάρτησης D.

β) Να υπολογίσετε ποια περίπου θα είναι η ποσότητα των δεδομένων στον διακομιστή την δέκατη πέμπτη ημέρα της παρακολούθησης;

γ) Να υπολογίσετε σε ποια ημέρα (περίπου) η ποσότητα των δεδομένων στον διακομιστή θα ξεπεράσει τα 700 TB, αν συνεχιστεί ο ίδιος ρυθμός αύξησης;

δ) Γραφική παράσταση και ερμηνεία
i. Να μεταφέρετε σε σύστημα αξόνων και να σχεδιάσετε σε αυτό τη γραφική παράσταση της συνάρτησης D ως συνάρτηση του t.
ii. Να ελέγξετε αν το σημείο (50, 1000) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
iii. Αν ναι, να ερμηνεύσετε το σημείο αυτό στο πλαίσιο του προβλήματος που αφορά την ποσότητα των δεδομένων και την πιθανή ανάγκη για αναβάθμιση του διακομιστή.

Δ) Διαγωνισμός Μαθηματικών

Σε έναν διαγωνισμό Μαθηματικών, οι μαθητές λύνουν διάφορα προβλήματα. Η μέγιστη βαθμολογία που μπορεί να πάρει κάποιος είναι 100 μονάδες και η ελάχιστη είναι 0 μονάδες. Ο διαγωνισμός αποτελείται από 20 προβλήματα. Κάθε άσκηση έχει μία συγκεκριμένη λύση που πρέπει να βρει ο μαθητής.
Η βαθμολόγηση γίνεται ως εξής:
• Για κάθε σωστή λύση, ο μαθητής κερδίζει 5 μονάδες.
• Για κάθε λανθασμένη λύση, αφαιρείται 1 μονάδα (αρνητική βαθμολογία).
• Αν μια άσκηση δεν λυθεί καθόλου (αφήνεται κενή), αυτή δεν βαθμολογείται (ούτε κερδίζει ούτε χάνει μονάδες).
Ένα τεστ θεωρείται "πλήρως απαντημένο" αν ο μαθητής έχει προσπαθήσει να λύσει όλες τις ασκήσεις, είτε σωστά είτε λανθασμένα.

α) Πόσους βαθμούς θα πάρει ένας μαθητής που παρέδωσε ένα "πλήρως απαντημένο" διαγωνιστικό τεστ, στο οποίο είχε 2 σωστές λύσεις;

β)
i. Ένας μαθητής παρέδωσε ένα "πλήρως απαντημένο" τεστ και πήρε 0 μονάδες. Να αποδείξετε ότι ο μαθητής αυτός είχε το πολύ 4 σωστές λύσεις.
ii. Να αποδείξετε ότι η βαθμολογία ενός "πλήρως απαντημένου" τεστ, με περισσότερες από 4 σωστές λύσεις, μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο: Βαθμολογία = 6⋅x−20, όπου x είναι το πλήθος των σωστών λύσεων.
iii. Ένας μαθητής πήρε 85 μονάδες στον διαγωνισμό. Ήταν το τεστ του "πλήρως απαντημένο"; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας.

Ε) Χρόνος Παραγωγής σε Εργοστάσιο

Ένα εργοστάσιο παράγει 600 μονάδες προϊόντος με σταθερό ρυθμό παραγωγής r (μονάδες ανά ώρα). Ο συνολικός χρόνος t (ώρες) δίνεται από τη σχέση:

t = 600 / r

α) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση για 50≤r≤200.

β) Να υπολογίσετε τον χρόνο παραγωγής αν ο ρυθμός είναι 100 μονάδες/ώρα.

γ) Να εκτιμήσετε από τη γραφική παράσταση τον ελάχιστο ρυθμό παραγωγής ώστε η διαδικασία να ολοκληρωθεί σε 4 ώρες.

# Οθόνη Βοήθειας

## Οδηγίες

Διαβάστε το παρακάτω υλικό για να αποκτήσετε μία καλύτερη κατανόηση του θέματος. Το συμπληρωματικό περιεχόμενο περιέχει ενδιαφέρουσες πληροφορίες και παραδείγματα που θα σας βοηθήσουν να εμβαθύνετε στη γνώση σας. Μη διστάσετε να επιστρέψετε σε αυτήν την ενότητα όποτε το κρίνετε απαραίτητο.

# Καρτέλα Συντελεστών