1. Τρίγωνοι αριθμοί
Μαθηματικές προκλήσεις: «Εδώ θα βρείτε ενδιαφέρουσες δραστηριότητες σχετικές με τα θέματα που μελετήσαμε (π.χ.: Τρίγωνοι αριθμοί, Φωτισμός σκηνής θεάτρου, Σχεδιάζουμε όπως οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, Ο φάρος και το πλοίο, Η σπείρα του Θεόδωρου του Κυρηναίου, “Ζυγίζουμε τετράγωνα”)».
Ο Πυθαγόρας τον 6ο π.Χ ίδρυσε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας την Πυθαγόρεια σχολή. Οι Πυθαγόρειοι ερμήνευαν τον κόσμο με βάση τους αριθμούς. Αναπαριστούσαν τους αριθμούς με γεωμετρικούς σχηματισμούς. Μία κατηγορία αριθμών που χρησιμοποιούσαν οι Πυθαγόρειοι ήταν οι τρίγωνοι αριθμοί. Ένας τρίγωνος αριθμός αν τον συμβολίσουμε με σημεία σχηματίζει ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Για παράδειγμα οι αριθμοί 1, 3, 6, 10 είναι τρίγωνοι αριθμοί και συμβολίζονται γεωμετρικά όπως φαίνεται στην εικόνα.
Ο τέταρτος τρίγωνος αριθμός στη σειρά αποτελούσε το ιερό σύμβολο των Πυθαγορείων και ονομάζονταν Τετρακτύς, τον οποίον χρησιμοποιούσαν για να ορκίζονται τα μέλη της σχολής. Υποστήριζαν ότι με τη μελέτη των εννοιών και των σχέσεων που υπάρχουν σε αυτό το ιερό γεωμετρικό σύμβολο φθάνουμε στην απόκτηση της σοφίας. Στο παραπάνω σχήμα παρατηρούμε ότι στον τέταρτο τρίγωνο αριθμό εμφανίζεται ένα κανονικό εξάγωνο με μήκος πλευράς α, όση είναι η απόσταση δύο διαδοχικών σημείων.
- Να σχεδιάσετε τον επόμενο τρίγωνο αριθμό.
- Ποιος είναι εκείνος ο τρίγωνος αριθμός με τον οποίο μπορείτε να σχηματίσετε ένα κανονικό εξάγωνο με μήκος πλευράς 2α.
- Ποιος είναι εκείνος ο τρίγωνος αριθμός με τον οποίο μπορείτε να σχηματίσετε ένα κανονικό εξάγωνο με μήκος πλευράς 3α.
- Να αναζητήσετε μία κανονικότητα στην εμφάνιση των κανονικών εξαγώνων με μήκος πλευρών πολλαπλάσιο του α.
Για τη σχεδίαση των τρίγωνων αριθμών μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάστικτο χαρτί ή την περιοχή εργασίας του λογισμικού Geogebra. Για την αναζήτηση της κανονικότητας του ερωτήματος δ μπορείτε να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα και να τον συμπληρώσετε.
| Σειρά | Τριγωνος Αριθμός | Πλευρά εξαγώνου |
|---|---|---|
| 1ος | 1 | – |
| 2ος | 3 | – |
| 3ος | 6 | – |
| 4ος | 10 | α |
| ... | ... | ... |
2. Φωτισμός της σκηνής του θεάτρου
Στην διπλανή εικόνα ο προβολέας φωτίζει ακριβώς όλη την περιοχή ΚΛ υπό γωνία 30° . Αν πλησιάζαμε τον προβολέα προς την περιοχή ΚΛ θα φώτιζε ένα μέρος της, ενώ αν τον απομακρύναμε θα φώτιζε και περιοχές έξω από το ΚΛ.
Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται η κάτοψη του θεάτρου της Επιδαύρου. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ αντιπροσωπεύει το μήκος της όψης της σκηνής του θεάτρου.
Στόχος αυτού του μαθηματικού έργου είναι να τοποθετηθούν δύο προβολείς εύρους γωνίας 30° στην περιοχή του διαζώματος στο κόκκινο τόξο ώστε να φωτίζουν ακριβώς την περιοχή της σκηνής ΑΒ.
Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας την κάτοψη της σκηνής του θεάτρου ΑΒ καθώς και το τόξο ΓΔ.
Στη συνέχεια να σκεφτείτε ποιες πρέπει να είναι οι θέσεις στο τόξο ΓΔ ώστε οι προβολείς να «βλέπουν» με 30ο τη σκηνή του θεάτρου ΑΒ.
Τα εργαλεία που έχουμε στη διάθεσή μας είναι: Κανόνας και διαβήτης.
Μοιραζόμαστε τις ιδέες μας με τον διπλανό μας ή την ομάδα μας και συζητούμε στην ολομέλεια τα συμπεράσματά μας και τον τρόπο που σκεφτήκαμε.
Υπόδειξη: Να κατασκευάστε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ με πλευρά ΑΒ και στη συνέχεια να χαράξετε κύκλο με κέντρο Ε και ακτίνα ΕΑ. Να ελέγξετε τα σημεία τομής του κύκλου (Ε, ΕΑ) με το τόξο ΓΔ.
3. Σχεδιάζουμε όπως οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι :
Να κατασκευάσετε ένα νήμα με κόμπους (αρπεδόνη) όπως φαίνεται στην εικόνα. Προτείνουμε οι αποστάσεις των διαδοχικών κόμπων να είναι 50 cm.
Να σχεδιάστε στην τάξη σας ή στο προαύλιο του σχολείου με τη χρήση της αρπεδόνης που κατασκευάσατε το διπλανό σχήμα χρησιμοποιώντας την τεχνική των Αρχαίων Αιγυπτίων. Το σχήμα αυτό αποτελείται από ένα τετράγωνο με πλευρά 2 m καθώς και τέσσερα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 2 m.
4. Ο φάρος και το πλοίο
Ένα πλοίο πλέει στη θάλασσα και όταν φθάνει στη θέση Π βλέπει το φως του φάρου Φ. Ο φάρος έχει ύψος 10 μέτρα. Πόσο απέχει το πλοίο από το φως του φάρου; Δηλαδή πόση είναι η απόσταση του ευθυγράμμου τμήματος ΠΦ;
Μοιραζόμαστε τις ιδέες μας με τον διπλανό μας ή την ομάδα μας και συζητούμε στην ολομέλεια τις απόψεις μας και την τεκμηρίωσή τους.
Δίνεται η ακτίνα της Γης 6371 χιλιόμετρα.
Σημείωση
Το σχήμα της διπλανής εικόνας έχει σκόπιμα σχεδιαστικά λάθη για λόγους ευκρίνειας, δηλαδή ο φάρος ύψους 10 μέτρων στην πραγματικότητα παριστάνεται ως μία κουκίδα πάνω στην επιφάνεια της Γης η οποία έχει ακτίνα 6371 χιλιομέτρων.
Στο ΨΜΑ 5 με τίτλο «ο Φάρος», διερευνούμε τη θέση του πλοίου σε σχέση με τον Φάρο.
5. Η σπείρα του Θεόδωρου του Κυρηναίου
Η σπείρα του διπλανού σχήματος αποτελείται από διαδοχικά ορθογώνια τρίγωνα και αποδίδεται στον μαθηματικό και φιλόσοφο Θεόδωρο τον Κυρηναίο που έζησε τον 5° π.Χ. αιώνα.
- Να υπολογιστούν οι υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων.
- Στο σχήμα παρατηρούμε 13 ορθογώνια τρίγωνα. Αν συνεχίζαμε την κατασκευή της σπείρας το 20° ορθογώνιο τρίγωνο τι υποτείνουσα θα είχε;
- Πόσα τρίγωνα πρέπει να κατασκευάσουμε για να προκύψει η υποτείνουσα με μήκος \(\sqrt{30}\) μονάδες;
6. Ζυγίζουμε τετράγωνα
Στη διπλανή εικόνα παρατηρούμε ένα μαύρο ορθογώνιο τρίγωνο όπου σε κάθε πλευρά του έχει σχεδιαστεί τετράγωνο.
Στο διπλανό ζυγό είναι αναρτημένα τα τρία τετράγωνα, κόκκινο, κίτρινο και μπλε, κατασκευασμένα από ομοιογενές υλικό ίδιου πάχους.
- Τι παρατηρούμε για την κατάσταση του ζυγού; Τεκμηριώνουμε το συλλογισμό μας.
- Ποια σχέση βάρους υπάρχει μεταξύ του κόκκινου του κίτρινου και του μπλε τετραγώνου.
- Ποια σχέση εμβαδών υπάρχει μεταξύ του κόκκινου του κίτρινου και του μπλε τετραγώνου. Μοιραζόμαστε τις ιδέες μας με τον διπλανό μας ή την ομάδα μας και συζητούμε στην ολομέλεια τις απόψεις μας και την τεκμηρίωσή τους.
Πείραμα: Κατασκευάζουμε με χοντρό χαρτόνι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Κατόπιν κατασκευάζουμε τα τετράγωνα των πλευρών και στη συνέχεια κάνουμε ζύγιση με αυτοσχέδιο ζυγό.