Ιστορικό σημείωμα

Η μέρα του Πι

Ο «π» είναι ένας πραγματικός αριθμός που προκύπτει όταν διαιρέσουμε την περίμετρο οποιουδήποτε κύκλου με τη διάμετρό του.

Ανεξάρτητα από το μέγεθος του κύκλου, οι μαθηματικοί είχαν ανακαλύψει πολλά χρόνια πριν ότι το μήκος κύκλου (περίμετρος) είναι περίπου 3 φορές μεγαλύτερη από τη διάμετρό του.

Για τον ακριβή υπολογισμό της τιμής του «π» , Βαβυλώνιοι, Αιγύπτιοι, Έλληνες, Άραβες ξεκίνησαν τις προσπάθειες περίπου 5000 χρόνια πριν. Για πρώτη φορά ο αριθμός «π» εμφανίζεται στις αναλογίες της Μεγάλης Πυραμίδας της Γκίζας, η οποία κατασκευάστηκε το 2589–2566 π. Χ. Η περίμετρος της πυραμίδας ήταν περίπου 6,28 φορές μεγαλύτερη από το ύψος της που αντιστοιχεί στο διπλάσιο του «π».

Οι πρώτες καταγραφές του αριθμού π έγιναν από τους αρχαίους Βαβυλώνιους κατά το 2.000 π. Χ., οι οποίοι υπολόγισαν το εμβαδόν ενός κύκλου παίρνοντας 3 φορές το τετράγωνο της ακτίνας του, δίνοντας για τον αριθμό π την τιμή π=3. Μεταγενέστερα σε έναν δίσκο που βρέθηκε και χρονολογείται γύρω στο 1700 π.Χ. υπάρχει το κλάσμα 25/8 που ισούται με 3,125 και θεωρείται η πρώτη προσέγγιση του «π».

Λίγα χρόνια αργότερα, οι Αιγύπτιοι υπολόγισαν το εμβαδόν ενός κύκλου με το κλάσμα 256/81 που έδωσε την κατά προσέγγιση τιμή 3,1605 για το π η οποία βρέθηκε στον πάπυρο του Rhind (περίπου το 1650 π. Χ.).

Ωστόσο, ο πρώτος που επιχείρησε να υπολογίσει το μήκος ενός κύκλου ήταν ο Αρχιμήδης, ένας από τους μεγαλύτερος μαθηματικούς της αρχαιότητας. Ο Αρχιμήδης ξεκίνησε με έναν κύκλο και στη συνέχεια έφτιαξε πολυγωνικά σχήματα μέσα και έξω από τον κύκλο (εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύγωνα). Χρησιμοποιώντας πολύγωνα με όλο και περισσότερες πλευρές, μπόρεσε να προσεγγίσει το μήκος του κύκλου με μεγάλη ακρίβεια. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε ένα εξάγωνο (6 πλευρές) και το διπλασίαζε συνεχώς (12, 24, 48, και 96 πλευρές) για να προσεγγίσει την περιφέρεια του κύκλου.

Ο Αρχιμήδης o Συρακούσιος ήταν ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της αρχαιότητας και ασχολήθηκε εκτενώς με τον αριθμό π. Ο αριθμός π είναι ο λόγος του μήκους ενός κύκλου προς τη διάμετρό του και αποτελεί μια θεμελιώδη μαθηματική σταθερά.

Κανονικά πολύγωνα

Ο Αρχιμήδης είναι γνωστός για τη μέθοδο που ανέπτυξε για τον υπολογισμό του π. Χρησιμοποίησε την μέθοδο της εξάντλησης, η οποία είναι προάγγελος του ολοκληρωτικού λογισμού. Ήταν ο πρώτος που έδωσε μία μέθοδο υπολογισμού του π με υψηλό βαθμό ακρίβειας. Η μέθοδός του έγκειται στο ότι η περίμετρος ενός κανονικού πολυγώνου ν πλευρών εγγεγραμμένου σε κύκλο, είναι μικρότερη του μήκους του κύκλου, και άρα και της περιμέτρου του περιγεγραμμένου πολυγώνου.

Εγγεγραμμένα Πολύγωνα: Ο Αρχιμήδης ξεκίνησε με ένα εξάγωνο εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο. Υπολογίζοντας την περίμετρο του εξαγώνου, μπόρεσε να προσδιορίσει ένα κατώτερο όριο για το μήκος του κύκλου. Στη συνέχεια, διπλασίαζε τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου, κάθε φορά προσεγγίζοντας καλύτερα το μήκος του κύκλου.

Περιγεγραμμένα Πολύγωνα:Παράλληλα, ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε περιγεγραμμένα πολύγωνα για να υπολογίσει ένα ανώτερο όριο για το μήκος του κύκλου. Κι εδώ, διπλασίαζε τον αριθμό των πλευρών των πολυγώνων.

Ο Αρχιμήδης και ο αριθμός π

Ξεκινώντας δηλαδή από ένα κανονικό εξάγωνο και διπλασιάζοντας τις πλευρές του, έφτασε σε ένα κανονικό πολύγωνο 96 πλευρών. Αυξάνοντας αρκετά τον αριθμό των πλευρών, οι δύο περίμετροι προσεγγίζουν εξωτερικά και εσωτερικά το μήκος του κύκλου. Έτσι, φτάνοντας σε πολύγωνο 96 πλευρών ο Αρχιμήδης περιόρισε την τιμή του \( \pi \) στο διάστημα \( \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7} \).

Με την χρήση αυτής της μεθόδου, ο Αρχιμήδης κατάφερε να δείξει ότι το π βρίσκεται περίπου μεταξύ των αριθμών 3,142857 και 3,140845. Είναι αξιοπαρατήρητο ότι ο Αρχιμήδης κατέληξε σε αυτήν την προσέγγιση χωρίς τη γνώση Τριγωνομετρίας και δεκαδικών ψηφίων.

Η προσέγγιση του Αρχιμήδη ήταν επαναστατική για την εποχή του και παρέμεινε η καλύτερη εκτίμηση του π για πολλούς αιώνες. Η ακρίβεια της μεθόδου και η μαθηματική του σκέψη άνοιξαν τον δρόμο για τις μελλοντικές ανακαλύψεις στα Μαθηματικά.

Σήμερα, παρόλο που με τη βοήθεια των υπολογιστών έχουν υπολογιστεί πολλά εκατομμύρια από τα δεκαδικά του ψηφία, ξέρουμε ότι ποτέ δεν θα τα βρούμε όλα αφού ο «π» δεν είναι ρητός αριθμός.

Την καλύτερη προσέγγιση χωρίς υπολογιστή κατέχει ο William Shanks ο οποίος το 1853 υπολόγισε σωστά 527 δεκαδικά ψηφία του \( \pi \). Ο Σρινιβάσα Ραμανούτζαν (1887 –1920), αυτοδίδακτος μαθηματικός από την Ινδία, άφησε πίσω του μοναδικές μα-θηματικές ιδέες που χρησιμοποιούνται μέχρι σήμερα. Χάρη σε αυτόν, μπορούμε με έναν απλό αλγόριθμο – σε μόλις δύο γραμμές – να υπολογίζουμε πάνω από δύο δισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του π! Η ιστορία του αποδεικνύει ότι η αγάπη για τη γνώση μπορεί να αλλάξει τον κόσμο. Η πιο γνωστή προσέγγιση με υπολογιστές έγινε το 2022 και περιλαμβάνει 100 τρισεκατομμύρια \((10^{14})\) ψηφία.

Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

  • Ομαδική εργασία 1.

    • Να απαντήσετε στο ερώτημα: «Τετραγωνίζεται ο κύκλος ;» εξηγώντας την απάντησή σας.

  • Ομαδική εργασία 2.

Να βρείτε πληροφορίες και να εκπονήσετε γραπτή εργασία για την εξέλιξη της προσέγγισης του αριθμού π.

Βιβλιογραφία