Εργασία με προεκτάσεις

Πορίσματα Πυθαγορείου θεωρήματος:

Πόρισμα 1: Το γινόμενο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου επί το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτήν, είναι ίσο με το γινόμενο των δύο κάθετων πλευρών του: \(\alpha \cdot υ = \beta \cdot \gamma\). Υπόδειξη: να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με δύο διαφορετικούς τρόπους).

Πόρισμα 2: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα: \(υ^2 = ΓΔ \cdot ΔΒ\).

Απόδειξη:

Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουμε:

\[ \begin{cases} \beta^2 = υ^2 + ΓΔ^2\\ \gamma^2 = υ^2 + ΔΒ^2 \end{cases} \quad \text{ή} \quad \beta^2 + \gamma^2 = 2υ^2 + ΓΔ^2 + ΔΒ^2 \]

Από το Π. Θ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: \(\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2\)

Οπότε έχουμε: \(\alpha^2 = 2υ^2 + ΓΔ^2 + ΔΒ^2\). Όμως: \(\alpha = ΓΔ + ΔΒ\). Επομένως:

\[ (ΓΔ + ΔΒ)^2 = 2υ^2 + ΓΔ^2 + ΔΒ^2 \]

\(υ^2 = ΓΔ \cdot ΔΒ \).

Πόρισμα 3: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή αυτής της κάθετης προς την υποτείνουσα, δηλαδή:

\[ \beta^2 = \alpha \cdot ΓΔ \quad \text{και} \quad \gamma^2 = \alpha \cdot ΔΒ \]

Απόδειξη του \(\beta^2 = \alpha \cdot ΓΔ\):

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΓΔ έχουμε: \(\beta^2 = υ^2 + ΓΔ^2\)

Από το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: \(υ^2 = ΓΔ \cdot ΔΒ\)

\[ \beta^2 = ΓΔ \cdot ΔΒ + ΓΔ^2 = ΓΔ \cdot (ΓΔ + ΔΒ) = ΓΔ \cdot \alpha \]

\(\beta^2 = \alpha \cdot ΓΔ\)

Εφαρμογή 1: Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 120 m και 160 m. Να υπολογίσετε το ύψος και τα τμήματα στα οποία το ύψος χωρίζει την υποτείνουσα. Υπάρχουν περισσότεροι τρόποι;

Εφαρμογή 2: Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα 169 m και μία κάθετη πλευρά 119 m. Να υπολογίσετε το ύψος και τα τμήματα στα οποία το ύψος χωρίζει την υποτείνουσα. Υπάρχουν περισσότεροι τρόποι;

Εφαρμογή 3: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο τα τμήματα στα οποία το ύψος χωρίζει την υποτείνουσα είναι 4,5 cm και 2 cm. Να βρείτε το ύψος που άγεται από την ορθή γωνία προς την υποτείνουσα.

# Οθόνη Βοήθειας

## Οδηγίες

Διαβάστε το παρακάτω υλικό για να αποκτήσετε μία καλύτερη κατανόηση του θέματος. Το συμπληρωματικό περιεχόμενο περιέχει ενδιαφέρουσες πληροφορίες και παραδείγματα που θα σας βοηθήσουν να εμβαθύνετε στη γνώση σας. Μη διστάσετε να επιστρέψετε σε αυτήν την ενότητα όποτε το κρίνετε απαραίτητο.

# Καρτέλα Συντελεστών