Εργασία με προεκτάσεις

Πορίσματα Πυθαγορείου θεωρήματος:

Πόρισμα 1: Το γινόμενο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου επί το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτήν, είναι ίσο με το γινόμενο των δύο κάθετων πλευρών του: \(\alpha \cdot υ = \beta \cdot \gamma\). Υπόδειξη: να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με δύο διαφορετικούς τρόπους).

Πόρισμα 2: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα: \(υ^2 = ΓΔ \cdot ΔΒ\).

Απόδειξη:

Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουμε:

\[ \begin{cases} \beta^2 = υ^2 + ΓΔ^2\\ \gamma^2 = υ^2 + ΔΒ^2 \end{cases} \quad \text{ή} \quad \beta^2 + \gamma^2 = 2υ^2 + ΓΔ^2 + ΔΒ^2 \]

Από το Π. Θ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: \(\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2\)

Οπότε έχουμε: \(\alpha^2 = 2υ^2 + ΓΔ^2 + ΔΒ^2\). Όμως: \(\alpha = ΓΔ + ΔΒ\). Επομένως:

\[ (ΓΔ + ΔΒ)^2 = 2υ^2 + ΓΔ^2 + ΔΒ^2 \]

\(υ^2 = ΓΔ \cdot ΔΒ \).

Πόρισμα 3: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή αυτής της κάθετης προς την υποτείνουσα, δηλαδή:

\[ \beta^2 = \alpha \cdot ΓΔ \quad \text{και} \quad \gamma^2 = \alpha \cdot ΔΒ \]

Απόδειξη του \(\beta^2 = \alpha \cdot ΓΔ\):

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΓΔ έχουμε: \(\beta^2 = υ^2 + ΓΔ^2\)

Από το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: \(υ^2 = ΓΔ \cdot ΔΒ\)

\[ \beta^2 = ΓΔ \cdot ΔΒ + ΓΔ^2 = ΓΔ \cdot (ΓΔ + ΔΒ) = ΓΔ \cdot \alpha \]

\(\beta^2 = \alpha \cdot ΓΔ\)

Εφαρμογή 1: Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 120 m και 160 m. Να υπολογίσετε το ύψος και τα τμήματα στα οποία το ύψος χωρίζει την υποτείνουσα. Υπάρχουν περισσότεροι τρόποι;

Εφαρμογή 2: Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα 169 m και μία κάθετη πλευρά 119 m. Να υπολογίσετε το ύψος και τα τμήματα στα οποία το ύψος χωρίζει την υποτείνουσα. Υπάρχουν περισσότεροι τρόποι;

Εφαρμογή 3: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο τα τμήματα στα οποία το ύψος χωρίζει την υποτείνουσα είναι 4,5 cm και 2 cm. Να βρείτε το ύψος που άγεται από την ορθή γωνία προς την υποτείνουσα.