Εργασία με προεκτάσεις

Πυθαγόρας

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποτελεί ένα από τα πιο κομψά αλλά ταυτόχρονα και πιο σημαντικά θεωρήματα µε πολλές εφαρμογές. Το Πυθαγόρειο θεώρημα δηλώνει ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας (η πλευρά απέναντι από την οποία είναι η γωνία είναι 90°) είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων του μήκους των δύο κάθετων πλευρών. Ο Πυθαγόρας ήταν ένας αρχαίος Έλληνας μαθηματικός που έζησε περίπου στον 6ο αιώνα π.Χ. Είναι γνωστός κυρίως για το Πυθαγόρειο θεώρημα, ένα από τα πιο θαυμάσια θεωρήματα στην ιστορία των Μαθηματικών.

Πριν περίπου από 4.000 χρόνια, αναπτύχθηκε στις όχθες των ποταμών Τίγρη και Ευφράτη, ο πολιτισμός της Μεσοποταμίας. Εκεί έζησαν διάφοροι λαοί, όπως οι Βαβυλώνιοι, οι Ασσύριοι, οι Χαλδαίοι και άλλοι. Σύμφωνα με τα αρχαιολογικά ευρήματα οι Βαβυλώνιοι ασχολήθηκαν με το εμπόριο, ανέπτυξαν την αρχιτεκτονική, τις τέχνες, τη λογοτεχνία, την αστρονομία καθώς και τον πρώτο νομικό κώδικα. Πήλινες πινακίδες μας πληροφορούν ότι οι Βαβυλώνιοι είχαν διατυπώσει μια αντίστοιχη εικασία: «Σε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών». Αυτό προκύπτει από τον τρόπο με τον οποίο έλυναν πρακτικά προβλήματα της καθημερινότητας για τις ανάγκες σχεδιασμού και τοπογραφίας. Αντίστοιχες εικασίες και προσπάθειες απόδειξης παρατηρήθηκαν και σε άλλους αρχαίους πολιτισμούς όπως στον αιγυπτιακό, τον ινδικό και τον κινεζικό.

Η απόδειξη της εικασίας αποδίδεται στον Πυθαγόρα από τη Σάμο (585−500 π.Χ.) και η πρόταση έγινε γνωστή ως Πυθαγόρειο Θεώρημα. Σύµφωνα µε την παράδοση, οι θεοί ανακοίνωσαν στον Πυθαγόρα το ομώνυμο Θεώρημα και όταν το απέδειξε, για να τους ευχαριστήσει, έκανε θυσία 100 βοδιών. Για τον λόγο αυτό, το Πυθαγόρειο Θεώρημα αναφέρεται συχνά και ως “Θεώρημα της εκατόµβης”. Επιπλέον, οι Πυθαγόρειοι διατύπωσαν και απέδειξαν το αντίστροφο του Θεωρήματος.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα έχει ευρεία εφαρμογή στα Μαθηματικά και σε πολλούς τομείς της Φυσικής. Από τη στιγμή που διατυπώθηκε, έχει αναπτυχθεί σε πολλές διαφορετικές μορφές, έχει επεκταθεί σε πολλές διαστάσεις και έχει αποδειχθεί με ποικίλους τρόπους.

Πρώτη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος Ο καθηγητής Elisha Scott Loomis (1852 – 1940) στο βιβλίο του «The Pythagorean Proposition» συγκέντρωσε 370 διαφορετικές αποδείξεις! Σήμερα ίσως έχουν προστεθεί και άλλες. Είναι αρίφνητες! Η προέλευση αυτών κυμαίνεται από το 900 π.Χ. έως το 1940 μ.Χ. Ομαδοποιούνται στις τέσσερις κατηγορίες πιθανών αποδείξεων: Αλγεβρικές (109 αποδείξεις), Γεωμετρικές (255), Τεταρτονιονικές (4), και αυτές που βασίζονται στη μάζα και την ταχύτητα, Δυναμικές (2). Στις αποδείξεις αυτές συμπεριλαμβάνονται η απόδειξη που αποδίδεται στο Leonardo da Vinci (1452 – 1519), η απόδειξη του 20ου προέδρου των Η.Π.Α. James Abram Garfield (1831 – 1881) και φυσικά η απόδειξη που έδωσε ο μεγάλος µμαθηματικός της αρχαιότητας και θεμελιωτής της Γεωμετρίας Ευκλείδης (∼325 – 265 π.Χ.), που είναι και η αρχαιότερη γνωστή απόδειξη.

Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε δύο θαυμαστές αναδείξεις:

Πρώτη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος (του 20ου προέδρου των Η.Π.Α. James Abram Garfield): Το ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές α, β, γ είναι σχεδιασμένο δύο φορές. Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΕΒΓ έχουν τοποθετηθεί όπως δείχνει το ακόλουθο σχήμα (A, E, B συνευθειακά).

Πρώτη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Για την απόδειξη να ακολουθήσετε τα ακόλουθα βήματα:

  • Τι είδους είναι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και ποιο είναι το εμβαδόν του;
  • Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ αποτελείται από τρία τρίγωνα: Τι είδους είναι καθένα από αυτά τα τρίγωνα και γιατί; Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΑΒΓΔ, θεωρώντας το ως άθροισμα των τριών τριγώνων.
  • Να συγκρίνετε τα προηγούμενα αποτελέσματα και να συμπεράνετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Δεύτερη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος (του Ινδού Μπασκάρα): Το σχήμα 1 δείχνει τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Το σχήμα 2 αποτελείται από τέσσερα ορθογώνια, καθένα από τα οποία είναι ίσα με το δεδομένο ορθογώνιο τρίγωνο και ένα τετράγωνο πλευράς β-γ.

Πρώτη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Για την απόδειξη να ακολουθήσετε τα ακόλουθα βήματα:

  • Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο.
  • Το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο.
  • Το τετράγωνο ΑΒΓΔ αποτελείται από τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα και το τετράγωνο ΚΛΜΝ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΑΒΓΔ, θεωρώντας το ως άθροισμα των προηγούμενων σχημάτων.
  • Άρα: \(\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2\). Γιατί;

1η Εργασία: Με χαρτοκοπτική

Συνεργασία ανά δύο ή σε μικρές ομάδες.

  1. Να σχεδιάσετε τετράγωνα στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ όπως στο διπλανό σχήμα.
  2. Από το κέντρο Ο ενός τετραγώνου, το οποίο δημιουργήθηκε στην κάθετη πλευρά ΑΒ φέρνουμε παράλληλη και κάθετη προς την υποτείνουσα, οι οποίες χωρίζουν το τετράγωνο σε τέσσερα τετράπλευρα.
  3. Να κόψετε με ψαλίδι τα τετράπλευρα και το τετράγωνο με πλευρά ΑΓ και να προσπαθήσετε να καλύψετε πλήρως το τετράγωνο με πλευρά τη ΒΓ.
  4. Πώς συνδέεται το εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου με τα εμβαδά των δύο άλλων τετραγώνων ;

Να συζητήσετε τα συμπεράσματά σας στην τάξη

Σχήμα για την εργασία χαρτοκοπτικής

2η Εργασία: Άσκηση στη μαθηματική απόδειξη

Να βρείτε δύο αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος, να τις μελετήσετε και να τις παρουσιάσετε στην τάξη.

Βιβλιογραφία

  • Loomis, E. S. (1968). The Pythagorean Proposition. Classics in Mathematics Education Series.
  • Loomis, E. S. (1968). The pythagorean proposition (pp. 3-4). National Council of Teachers of Mathematics.
  • O'Connor, J. J. and Robertson, E. F. (2000). An overview of Babylonian mathematics. MacTutor History of Mathematics.
  • Εξαρχάκος, Θ. Γ. (1996). Βαβυλωνιακά Μαθηματικά. Ανακάλυψη, αποκρυπτογράφηση, χρονολόγηση και τρόποι ερμηνείας των βαβυλωνιακών μαθηματικών κειμένων. Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας, (13), 7-45.
  • Maor, Ε. (2008). Το Πυθαγόρειο θεώρημα, Μια ιστορία 4.000 ετών. Αθήνα: Κάτοπτρο.