Μαθηματικές προκλήσεις

#### ΘΕΜΑ 1ο

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ κέντρου O. Προεκτείνουμε την ΒΑ κατά τμήμα ΑΕ και την ΑΔ κατά ΔΖ, έτσι ώστε ΑΕ=ΔΖ.

1. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΟ και ΟΔΖ είναι ίσα.
2. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΟΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

#### ΘΕΜΑ 2ο

Στο ακόλουθο σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, τα τρίγωνα ΑΒΟ και ΓΔΟ είναι ισόπλευρα και η ΒΕ είναι κάθετη προς τη ΒΔ. Να αποδείξετε ότι:

1. \(\hat{ΑΕΒ}\) = \( 30^\circ \)
2. ΕΒ = ΒΓ
3. ΕΑ = ΑΒ

#### ΘΕΜΑ 3ο

Το τετράγωνο ΑΒΓΔ του σχήματος, έχει πλευρά 10 cm. Το σημείο Ε είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ και το Ο το κέντρο του τετραγώνου. Πόσα τετραγωνικά εκατοστά είναι το εμβαδόν του γραμμιοσκιασμένου σχήματος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

#### ΘΕΜΑ 4ο

Στο παρακάτω σχήμα δίνονται τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΔΕ. Τα σημεία Α, Γ και Δ είναι συνευθειακά.

1. Να υπολογίσετε τις γωνίες ΒΓΔ και ΑΓΕ.
2. Να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΑΕ.
3. Αν οι ΒΔ και ΑΕ τέμνονται στο Ο, να αποδείξετε ότι \( \varphi = 60^\circ \).

#### ΘΕΜΑ 5ο

Στο ακόλουθο σχήμα δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ΑΔΕΓ \( (\hat{Α} = \hat{Δ} = 90^\circ) \) και στο εσωτερικό του τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ, έτσι ώστε ΑΒ=ΔΕ=y και ΑΓ=ΒΔ=x.

1. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ είναι ίσα.
2. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
3. Αν το εμβαδόν του ορθογωνίου τραπεζίου ΑΔΕΓ του παραπάνω σχήματος είναι 24,5 m² και το εμβαδόν του τριγώνου ΒΓΕ είναι 12,5 m², να βρείτε τα \( x \) και \( y \).

# Οθόνη Βοήθειας

## Οδηγίες

Διαβάστε το παρακάτω συμπληρωματικό υλικό για να αποκτήσετε μία καλύτερη κατανόηση του θέματος. Το συμπληρωματικό περιεχόμενο περιέχει ενδιαφέρουσες πληροφορίες και παραδείγματα που θα σας βοηθήσουν να εμβαθύνετε στη γνώση σας. Μη διστάσετε να επιστρέψετε σε αυτήν την ενότητα όποτε το κρίνετε απαραίτητο.

# Καρτέλα Συντελεστών