Αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Ένα τρίγωνο έχει πλευρές 3, 4 και 5 cm και παρατηρούμε ότι \( 5^2 = 3^2 + 4^2 \). Να εξηγήσετε γιατί είναι ορθογώνιο και να βρείτε την ορθή του γωνία.

Απάντηση:

Κατασκευάζουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές 3, 4 και 5 cm.

Στη συνέχεια κατασκευάζουμε μία ορθή γωνία \( xOy = 90^\circ \).

Στην πλευρά \( Ox \) παίρνουμε σημείο \( Δ \) έτσι ώστε \( ΟΔ = 3 \) cm και στην πλευρά \( Oy \) παίρνουμε σημείο \( Ε \) έτσι ώστε \( ΟΕ = 4 \) cm.

Αφού το τρίγωνο \( ΟΔΕ \) είναι ορθογώνιο, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα υπολογίζουμε την υποτείνουσά του \( ΔΕ \).

Έτσι έχουμε: \[ ΔE^2 = ΟΔ^2 + ΟΕ^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \quad ἤ \quad ΔE = \sqrt{25} = 5. \]

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΟΔΕ έχουν τις πλευρές τους μία προς μία ίσες, άρα σύμφωνα με το 1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Π-Π) θα είναι ίσα.

Άρα θα έχουν και τις γωνίες τους ίσες, οπότε θα είναι \( \hat{A} = \hat{O} = 90^\circ \) (διότι είναι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές).

Επομένως το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία την \( \hat{A} \).

Γενικά:

Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία αυτή που βρίσκεται απέναντι από την μεγαλύτερη πλευρά.