ΘΕΜΑ 1^ο

Το μήκος των πλευρών των τετραγώνων ΕΖΘΑ και ΖΒΗΘ του παρακάτω σχήματος είναι 3 m. Το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

1. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΒΓΗ είναι όμοια. Ποιο είναι το μήκος της πλευράς ΒΓ;
2. Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΑΒ.
3. Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ.

ΘΕΜΑ 2^ο

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και εγγεγραμμένο ισοσκελές τρίγωνο ΓΔΕ, όπου Ε είναι το μέσο του ΑΒ. Η διαγώνιος ΑΓ τέμνει τη ΔΕ στο Ζ. Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 4 m².

1. Να αποδείξετε ότι \( ΔE = \sqrt{5} \, \text{m} \).
2. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΖΕ και ΔΖΓ είναι όμοια. Να γράψετε τη σχέση των ίσων λόγων ομοιότητας.
3. Να υπολογίσετε το ευθύγραμμο τμήμα ΖΕ.

ΘΕΜΑ 3^ο

Στο ακόλουθο σχήμα έχουμε τρία τετράγωνα πλευράς 1 cm τοποθετημένα το ένα πλάι στο άλλο.

1. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΖΒΜ είναι όμοια.
2. Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΖΜ.
3. Να βρείτε το μήκος του ΚΛ.

ΘΕΜΑ 4^ο

Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 5cm, ΑΓ = 12cm, ΓΔ = 6cm.

1. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΓΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια.
2. Να υπολογίσετε τα \( x \) και \( y \), και να βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους.
3. Να βρείτε το λόγο των εμβαδών των δύο τριγώνων.

ΘΕΜΑ 5^ο

Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι ΑΔ = ΑΒ = ΒΓ = 4 και ΑΔ ⊥ ΑΓ. Να υπολογίσετε εμβαδόν του τραπεζίου.

Υπόδειξη: Φέρνουμε το ύψος ΑΗ. Έστω ΔΗ = x. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΗ και ΑΔΓ είναι όμοια.