Η λέξη «άλγεβρα» προέρχεται από τη λατινική Algebra η οποία με τη σειρά της προέρχεται από την αραβική λέξη al-jabr. Η αραβική λέξη πρωτοεμφανίζεται στο έργο του μεγάλου Άραβα μαθηματικού Αl-Khwârizmi το οποίο γράφτηκε γύρω στα 825μ.Χ και μεταφράζεται ως «περί της τέχνης να συναθροίζεις αγνώστους και να τους εξισώνεις με μια γνωστή ποσότητα». Έτσι η λέξη al-jabr ήταν για πολλά χρόνια συνώνυμο της λέξης «επιστήμη των εξισώσεων». Από τη λέξη al-jabr προέκυψε ο λατινικός όρος Algebra που αποδόθηκε στα ελληνικά με το «Άλγεβρα». Το βιβλίο του Αl-Khwârizmi θεωρείται θεμελιώδες κείμενο της σύγχρονης Άλγεβρας, παρόλο που δεν χρησιμοποίησε το είδος του αλγεβρικού συμβολισμού που χρησιμοποιούμε σήμερα, παρά μόνο λέξεις για να εξηγήσει τα προβλήματα και διαγράμματα για να τα λύσει. Το βιβλίο παρέχει μια λεπτομερή περιγραφή της επίλυσης εξισώσεων πρώτου και δευτέρου βαθμού με χρήση των διαδικασιών “al-jabr” και “al-muqabala”. Η συνηθισμένη ερμηνεία του jabr για τους μαθηματικούς χειρισμούς, με σημερινούς όρους είναι : προσθέτουμε ή αφαιρούμε και στα δυο μέλη μιας εξίσωσης τον ίδιο αριθμό. Η συνηθισμένη ερμηνεία του muqabala, με σημερινούς όρους είναι : αναγωγή όμοιων όρων μιας εξίσωσης, αλλά ο Αl-Khwarizmi χρησιμοποιούσε τον όρο και με την έννοια του “εξισώνω”.

Τρεις χαρακτηριστικές εξισώσεις του βιβλίου του με σύγχρονο συμβολισμό είναι οι :

\(x^2 + 10x = 39\), \(x^2 + 21 = 10x\), \(3x + 4 = x^2\).

Την εποχή εκείνη μόνο θετικοί συντελεστές ήταν αποδεκτοί και οι ρίζες ήταν αποδεκτές μόνο αν ήταν θετικές. Η απουσία του μηδενός και των αρνητικών αριθμών καθιστούσε αδύνατη τη διατύπωση ενός γενικού τύπου για την επίλυση των εξισώσεων 2ου βαθμού.

Πως έλυνε ο Al-Khwarizmi εξισώσεις της μορφής \(x^2 + αx = β\), όπου α, β συγκεκριμένοι θετικοί αριθμοί.

Για τη λύση της εξίσωσης \(x^2 + 10x = 39\), ο Al-Khwarizmi αρχικά παίρνει ένα τετράγωνο πλευράς x με εμβαδόν \(x^2\) (Σχήμα 1). Στη συνέχεια προσθέτει στο τετράγωνο με πλευρά x, δύο ίσα ορθογώνια με πλευρές 5 και x που το καθένα έχει εμβαδόν, \(\dfrac{10x}{2} = 5x\) (Σχήμα 2).

Το αρχικό τετράγωνο μαζί με τα δύο ορθογώνια που προστέθηκαν, έχουν εμβαδόν ίσο με 39.

Ακολούθως συμπληρώνει τα σχήμα (2) με ένα ακόμα τετράγωνο πλευράς 5 το οποίο έχει εμβαδόν \(5^2\) (Σχήμα 3) κι έτσι προκύπτει ένα τετράγωνο με πλευρά \(x+5\) και εμβαδόν \((x+5)^2\).

Από το σχήμα (3) πλέον έχουμε : \((x+5)^2 = (x^2+2*5x)+5^2 = (x^2+10x)+25 = x^2+2*5x = 39+25 = 64\), οπότε το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου \((x+5)^2\) είναι 64 και επομένως η πλευρά του είναι 8.

Άρα \(x+5= 8\) και η λύση της εξίσωσης είναι \(x=3\).

Η μέθοδός του al-Khwârizmi είναι, ουσιαστικά, γεωμετρική. Πρόκειται για τη «συμπλήρωση τετραγώνου», μια μέθοδος η οποία ήταν γνωστή στους λαούς της αρχαιότητας1.

Με τη μέθοδο του Al-Khwarizmi:

1. Να λύσετε την εξίσωση: \(x^2 + 6x = 16 \).
2. Να αποδείξετε ότι \(x^2 + 2λx = (x+λ)^2-λ^2 \), όπου λ θετικός ακέραιος.

1Για το ιστορικό σημείωμα χρησιμοποιήθηκαν στοιχεία από το «ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (Σχολείο 21ου αιώνα) – Νέο Πρόγραμμα Σπουδών»: Παπασταυρίδης Σ., Ζαχαριάδης Θ., Μπαραλός Γ., Πολύζος Γ., Σβέρκος Α., Σκούρας Α., Φερεντίνος Σ., Δημητρόπουλος Β., Κεϊσογλου Σ., Μηλιώνης Χ., Ορφανάκης Σ., Πανταζή Α., Τσικοπούλου Σ., ΙΕΠ-2015.

# Οθόνη Βοήθειας

Να μελετήσετε το κείμενο.

# Καρτέλα Συντελεστών