Θέμα Α

Α1. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα στοιχεία της στήλης Β στον παρακάτω πίνακα.

Στήλη Α
1. \( -x^2 + x + 2 \)
2. \( 2x^2 + x - 1 \)
3. \( x^2 - x - 2 \)
4. \( 2x^2 - x - 1 \)

Στήλη Β
α. \( (2 - x)(x + 1) \)
β. \( (x - 2)(x + 1) \)
γ. \( (2x - 1)(x + 1) \)
δ. \( (x - 2)(x - 1) \)
ε. \( (2x + 1)(x - 1) \)
στ. \( (2x + 1)(x + 1) \)

Α2. Η Χαρά και η Μαρία λύνουν την ανίσωση \( x^2 -5x \gt 0\).

Η Χαρά γράφει: \( x^2 - 5x \gt 0 \Leftrightarrow x(x - 5) \gt 0 \Leftrightarrow x \gt 0 \) και \( x \gt 5 \Leftrightarrow x \gt 5 \)

Η Μαρία γράφει: \( x^2 - 5x \gt 0 \Leftrightarrow x(x - 5) \gt 0 \Leftrightarrow x \lt 0 \) και \( x \lt 5 \Leftrightarrow x \lt 0 \)

1. Είναι σωστές ή λάθος οι λύσεις της Χαράς και της Μαρίας; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
2. Αν οι λύσεις της Χαράς και της Μαρίας δεν είναι σωστές να προτείνετε λύση συνδυάζοντας τις προσπάθειές τους.
3. Να προτείνετε ένα διαφορετικό τρόπο λύσης.

Α3. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος δικαιολογώντας την απάντησή σας.

1. Η ανίσωση \( x^2 -αx + α^2 \gt 0 \), \(α \ne 0 \) αληθεύει για κάθε πραγματικό x.
2. Ισχύει ότι \( 2x^2 +7x - 4 = (x - {{1} \over 2})(x + 4) \) .
3. Η ανίσωση \( α^2x^2 + αx + 1 \le 0 \), \(α \ne 0 \) αληθεύει για κάθε πραγματικό x.
4. Οι ανισώσεις \( x^2 - 1 \lt 0 \) και \( \lvert x \rvert \lt 1 \) έχουν τις ίδιες λύσεις.
5. Οι ανισώσεις \( x^2 - 2x \lt 3 \) και \( \lvert x - 1 \rvert \gt 2 \) έχουν τις ίδιες λύσεις.

Θέμα Β

Β1. Να λύσετε την ανίσωση \( \lvert 2x - 1 \rvert \lt 5 \).

Β2. Να λύσετε την ανίσωση \( x^2 - x -2 \ge 0 \).

Β3. Να δείξετε ότι οι ανισώσεις των ερωτημάτων (Β1) και (Β2) συναληθεύουν και να βρείτε τις κοινές τους λύσεις.

Β4. Αν οι αριθμοί \(α\) και \(β\), με \(α < β\) είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων με \( α, β \in [-2, -1] \), είναι και ο αριθμός \( {α+2β} \over 3 \) κοινή τους λύση;

Θέμα Γ

Στο παρακάτω σχήμα οι κορυφές του τετραγώνου \(ΕΖΗΘ\) βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τετραγώνου \(ΑΒΓΔ\).

Γ1. Αν η πλευρά του τετραγώνου \(ΑΒΓΔ\) είναι 3 και η απόσταση των κορυφών του \(ΕΖΗΘ\) από τις αντίστοιχες κορυφές του \(ΑΒΓΔ\) είναι \(x\), όπως φαίνεται στο σχήμα, να εκφράσετε συναρτήσει του \(x\) το μήκος του τμήματος \(ΕΖ\).

Γ2. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του \(ΕΖΗΘ\) δίνεται από τη σχέση: \( (ΕΖΗΘ) = x^2 + (3 -x)^2 \) με \( 0 \le x \le 3 \)

Γ3. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του \(ΕΖΗΘ\) δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το μισό του εμβαδού \(ΑΒΓΔ\).

Θέμα Δ

Θεωρούμε την εξίσωση \(x^2+4x+5=α\) (1), με παράμετρο \(α \in \mathbb{R}\).

Δ1. Να βρείτε για ποιες τιμές του α η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Δ2. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εξίσωση (1) να έχει μια διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορίσετε.

Δ3. Να λύσετε την ανίσωση \(\sqrt{x^2+4x+4} \geq 3\).

# Οθόνη Βοήθειας

Να επιλύσετε τις ασκήσεις αξιολόγησης.

# Καρτέλα Συντελεστών