Επίλεξε το εικονίδιο πάνω δεξιά για να ανοίξεις - εκτυπώσεις το φύλλο εργασίας.

Επίλεξε το εικονίδιο για να συμβουλευτείς την οθόνη βοήθειας και να κατεβάσεις το αρχείο (.ggb).

# Οθόνη Βοήθειας

Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο της εφαρμογής (.ggb) στον υπολογιστή σας από τον παρακάτω σύνδεσμο και να δημιουργήσετε με βάση αυτό ένα νέο τροποποιημένο αρχείο.

Κατέβασμα (.ggb)

Χρειάζεται να έχετε εγκατεστημένο στη υπολογιστή σας το Geogebra ή να τρέχετε την δικτυακή έκδοση.

# Καρτέλα Συντελεστών

# Φύλλο Εργασίας

Το θέμα

Στη συγκεκριμένη εφαρμογή μπορείτε να πληκτρολογήσετε την \(\sqrt[n]{a}\) με τη βοήθεια του δρομέα n και του δρομέα a και να πάρετε μια κάθετη ευθεία στον άξονα χ'χ, η οποία διέρχεται από το σημείο με τετμημέμη ίση με μια προσέγγιση της αριθμητικής τιμής της ρίζας.

Το πρόβλημα

Να ερευνήσετε για τις ιδιότητες της \(\sqrt[n]{a}\) για τις διάφορες τιμές των a και n.

Λειτουργίες της εφαρμογής

- Οι λειτουργίες του CAS. Υπάρχουν 9 εργαλεία στο μενού. Αν επιλέξετε ένα από αυτά και κρατήσετε πατημένο τον δείκτη, θα εμφανιστούν οι λειτουργίες του αντίστοιχου εργαλείου.
- Οι λειτουργίες του παράθυρου των γραφικών. Υπάρχουν 7 πτυσσόμενα υπομενού στο κύριο μενού των εργαλείων. Επιλέξτε ένα από αυτά και δείτε τις λειτουργίες του.
- Τα κουμπιά "Μεγέθυνση" και "Σμίκρυνση" μεγεθύνουν ή κάνουν σμίκρυνση του συστήματος αξόνων. Το κουμπί "Από τη αρχή" επαναφέρει την κατάσταση στην αρχική της μορφή.
- Το κουτί "a" ή ο δρομέας "a" ορίζει την υπόρριζη ποσότητα και ο δρομέας "n" τον δείκτη της ρίζας. Ο δρομέας "Προσέγγιση" ορίζει το πλήθος των ψηφίων που θα έχει μια προσέγγιση της τιμής του \(\sqrt[n]{a}\) που εμφανίζεται με το κουτί "Δείξε τη τιμή".

Πειράματα

1. Πείραμα 1:
   Προετοιμασία:
   (1) Επιλέξτε ο δρομέας n να δείχνει 3.
   (2) Πληκτρολογήστε στο κουτάκι α τον αριθμό 5.
   (3) Κάντε κλικ στο πλαίσιο εισαγωγής του CAS και επιλέξτε τον calculator που εμφανίζεται κάτω αριστερά.
   (4) Πληκτρολογήστε στο πλαίσιο εισαγωγής x= (αγγλικό πληκτρολόγιο).
   (5) Στο δεύτερο μενού εντολών, με τίτλο f(x), επιλέξτε το κουμπί της νιοστής ρίζας. Πληκτρολογήστε n στο δείκτη και a στο υπόρριζο. Πατήστε enter.
   . Μπορείτε ακόμα να πληκτρολογήσετε x = ΡίζαΝ(a,n).
   (6) Επιλέξτε το κύκλο αριστερά της εξίσωσης και παρατηρήστε την κάθετη γραμμή στο γραφικό πλαίσιο.
   (7) Στη επόμενη γραμμή του πλαισίου εισαγωγής πληκτρολογήστε την εξίσωση x = ΡίζαΝ(a,n+1), πατήστε enter και επιλέξτε το κυκλάκι της, για να εμφανιστεί η κάθετη γραμμή.
   (8) Μπορείτε να επιλέξτε το δεύτερο εργαλείο τoυ μενού 'Αριθμητικός υπολογισμός' και να πάρετε την αριθμητική τιμή της ρίζας. Ορίστε τον δρομέα "n" να δείχνει 3. Στο επίπεδο 1 πληκτρολογήστε το αριθμό 5, επιλέξτε το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων που θέλετε και μετακινήστε το σημείο Ζ κοντά στη θέση που ορίζεται από την \(\sqrt[3]{5}\). Επιλέξτε το κουτάκι "Έλεγχος", για να ελέγξετε την επιλογή σας.
   Πείραμα:
   Σύρετε τον δρομέα a και παρατηρήστε τη θέση των δύο γραμμών.
   Διατυπώστε ένα συμπέρασμα για τη σχέση των ριζών \(\sqrt[3]{a}\) και \(\sqrt[4]{a}\).
   Ερευνήσετε τη σχέση των τιμών των δύο ριζών όταν a<1 ή όταν α>1. Τι συμβαίνει όταν ο a παίρνει τιμές μικρότερες του 1 ή μεγαλύτερες του 1;
   → Διατυπώστε ένα συμπέρασμα και αιτιολογήστε το.
2. Πείραμα 2:
   Προετοιμασία:
   (1) Επιλέξτε το κουμπί -από την αρχή- και με την γομολάστιχα διαγράψτε όλες τις εξισώσεις.
   (2) Πληκτρολογήστε τις ρίζες, x = ΡίζαΝ(a,n) και x = ΡίζαΝ(a,n+2).
   (3) Επιλέξτε, με δεξί κλικ, τις δύο γραμμές και από το μενού Ρυθμίσεις, επιλέξτε να έχουν διαφορετικό χρώμα.
   Πείραμα :
   Σύρετε τον δρομέα a και παρατηρήστε τη θέση των δύο κάθετων γραμμών.
   Διατυπώστε ένα συμπέρασμα για τη σχέση των δύο ριζών και αιτιολογήστε την απάντησή σας.
   Σύρετε τον δρομέα "n" και παρατηρήστε τι συμπεριφορά των γραμμών των δύο ριζών για μια σταθερή τιμή του α.

Γενικεύσεις και συμπεράσματα

Να διατυπώσετε ένα συμπέρασμα για τις ιδιότητες της \(\sqrt[n]{a}\) και για τις διάφορες τιμές των a και n.

Οδηγίες

Με τον δρομέα "Μεγέθυνση" ορίστε τα όρια του ορατού τμήματος του άξονα, ώστε να μπορείτε να παρατηρήσετε τις τιμές των ριζών.

Τα εικονίδια με τις τρεις γραμμές δεξιά ανοίγουν το μενού όλων των εντολών της εφαρμογής.