Θέμα Α

Α1. Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης \( αx^2 + βx + γ = 0\), \(α \ne 0 \) με Δ > 0 δίνονται από τον τύπο \( x_1,_2 = {{-β \pm \sqrt{Δ}} \over 2α}\)

Α2. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς δικαιολογώντας την απάντησή σας.

1. Η εξίσωση \( x^2 + λx - 1 = 0 \) έχει δύο άνισες ρίζες για κάθε τιμή της παραμέτρου \(λ\).
2. Μια εξίσωση 2ου βαθμού έχει πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν \(Δ < 0\).
3. Η εξίσωση \( αx^2 + βx + γ = 0\), \(α \ne 0 \) έχει δύο πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν \( α \cdot β \lt 0 \)
4. Η εξίσωση \(x^ν = α\) έχει δύο ρίζες αν και μόνο αν ν άρτιος και \(α > 0\).
5. Η εξίσωση \(λ(x - λ)=x-λ\) είναι αόριστη αν \(x = λ\).

Α3. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β.

Στήλη Α \( αx^2 + βx + γ = 0\), \(α \ne 0 \)
α. Αδύνατη στο \( \mathbb{R} \)
β. Μία διπλή ρίζα
γ. Δύο άνισες ρίζες στο \( \mathbb{R} \)
δ. Ρίζα το \(– 1\)

Στήλη Β Σχέσεις συντελεστών
i. \( 4αγ \lt β^2\)
ii. \( α + γ = β\)
iii. \( 4αγ \gt β^2 \)
iv. \( 2γ= {{β^2} \over 2α} \)

Θέμα Β

Να λύσετε τις εξισώσεις.

Β1. \( (2x + 1)(x - 3) + 8 = (x + 1)(x - 1) \)

Β2. \( (2x + 4)(x - 1) + (3x + 5)^2 = 3(2x + 5)^2 + x \)

Β3. \( {{x^2 + 3} \over 6} - {{7 - x^2} \over 4} = {{(x + 4)^2} \over 2} + {{9x - 1} \over 12} \)

Β4. \( {{x + 2} \over 3} - {{1} \over x} = {{x - 3} \over x} + {{4 - x^2} \over 2x} \)

Θέμα Γ

Ένα γεράκι «βουτάει», για να πιάσει ένα περιστέρι, που βρίσκεται στο έδαφος. Tο γεράκι είναι σε ύψος \(30 m\) από το έδαφος και «βουτάει» κατακόρυφα με ταχύτητα \(67 m/sec\).

Να υπολογίσετε τον χρόνο, που έχει το περιστέρι, για να ξεφύγει.

Ο τύπος που περιγράφει ικανοποιητικά το ύψος είναι \( h=5t^2+vt \), όπου \(v\) η ταχύτητα πτώσης και \(h\) το αρχικό ύψος.

Θέμα Δ

Δίνεται η εξίσωση \( (8 - λ)x^2 +(4 - 2λ)x + 1 =0 \) με παράμετρο \( λ \in \mathbb{R} \).

Δ1. Να βρείτε την τιμή του \(λ\) ώστε η εξίσωση να είναι 1ου βαθμού.

Δ2. Να βρείτε τις τιμές του \(λ\) για τις οποίες η εξίσωση (1) είναι 2ου βαθμού και έχει μια διπλή ρίζα.

Δ3. Για τις τιμές του \(λ\) που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να βρείτε τη διπλή ρίζα της εξίσωσης.

# Οθόνη Βοήθειας

Να επιλύσετε τις ασκήσεις αξιολόγησης.

# Καρτέλα Συντελεστών