Θέμα Α

Α1. Να αποδείξετε ότι:

α. \(\lvert α-β \rvert \le \lvert α \rvert\ + \lvert β \rvert \) και

β. \(\sqrt[ν]{α}\cdot\sqrt[ν]{β}=\sqrt[ν]{α\cdotβ} \) για κάθε \(α, β \ge 0 \) και ν θετικό ακέραιο.

Α2. Να αποδείξετε ότι η ανισότητα \(\lvert α-β \rvert \le \lvert α \rvert\ + \lvert β \rvert \) ισχύει ως ισότητα, όταν και μόνο όταν \(α\cdotβ \le 0 \) .

Α3. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα στοιχεία της στήλης Β στον παρακάτω πίνακα.

Στήλη Α
1. \(\lvert x-2 \rvert \lt 3 \)
2. \(d(1, x) \ge 2 \)
3. \(d(4, x) \le 1 \)

Στήλη Β
α. \(x \le -1 \space ή \space x \ge 3\)
β. \(3 \le x \le 5\)
γ. \(0 \le x \le 2\)
δ. \(-1 \lt x \lt 5\)

Α4. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες δικαιολογώντας την απάντησή σας.

α. \((α-β)^3=α^3-β^3-3αβ(α-β) \)

β. \(\lvert {{α}\over β} \rvert = {{α}\over β} \) τότε \( α - β = 0 \)

γ. \(d(α, -β) = \lvert α - β \rvert \)

δ. \(\sqrt[4]{(-1)^6} = (-1)^{{6}\over 4} = (-1)^{{3}\over 2} \)

ε. Αν ν θετικός άρτιος και \( β \ge 0\), τότε: \(\sqrt[ν]{α^ν \cdot β} = \lvert α \rvert \cdot \sqrt[ν]{β} \).

Θέμα Β

Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ότι \( \lvert α-1 \rvert \lt 2 \) και \(d(1,2β) \lt1 \).

Β1. Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι \(α, β\).

Β2. Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις:

i. \(α + β\) ii. \(3α - 2β\) iii. \( β^2 - 2α^3\)

Β3. Να γράψετε την παράσταση

\( Α = \lvert 3β-α+3 \rvert + \lvert \lvert α+β-5 \rvert +7 \rvert \) χωρίς απόλυτες τιμές.

Β4. Να δείξετε ότι \( \lvert α-1 \rvert^2 + \lvert 4β-2 \rvert^2 \lt 8 \) .

Θέμα Γ

Δίνεται η παράσταση

\( Α= \sqrt[3]{7+ 3\sqrt{2}+\sqrt{2}^3} - \sqrt[3]{-7+ 3\sqrt{2}+\sqrt{2}^3} \)

Γ1. Να δείξετε ότι: \( (1+ \sqrt{2})^3 = 7+3\sqrt{2}+\sqrt{2}^3 \) και \( (1- \sqrt{2})^3 = 7-3\sqrt{2}-\sqrt{2}^3 \)

Γ2. Να δείξετε ότι η παράσταση Α είναι ακέραιος αριθμός και να υπολογίσετε την τιμή της.

Αν \(Α=2\):

Γ3. Να λύσετε την εξίσωση: \( \lvert x-Α\cdot\sqrt[3]{2} \rvert = \sqrt[6]{64Α^2} \)

Γ4. Να λύσετε την ανίσωση: \( \lvert \lvert x \rvert - Α^2 \rvert \le 2Α \) και να παραστήσετε τις λύσεις στον άξονα των πραγματικών αριθμών

Θέμα Δ

Δίνεται ο αριθμός \( α= {{1} \over \sqrt[5]{8}} \cdot 27^{2 \over 15} \cdot \sqrt[5]{6^3} \)

Δ1. Να δείξετε ότι \(α = 3\).

Δ2. Να ρητοποιήσετε τον αριθμό \( β= {{2} \over {2 - \sqrt{α}}} - {{\sqrt{α}} \over {2+\sqrt{α}}} \).

Δ3. Αν \(β = 7\) και \( \lvert x-α \rvert \lt β \), να απλοποιήσετε την παράσταση \( Α = \sqrt{x^2 - 20x + 100} - {{\sqrt{x^2 + 8x + 16}} \over {x + 4}} \) .

Δ4. Αν \(Α = 9 – x\), να δείξετε ότι για κάθε πραγματικό \(x\) ισχύει ότι: \( (2x -α)^2 - Α + 2 \ge x - β \).

# Οθόνη Βοήθειας

Να επιλύσετε τις ασκήσεις αξιολόγησης.

# Καρτέλα Συντελεστών