Περίπου το 300 π.Χ. ο Ευκλείδης ανέπτυξε μια γεωμετρική προσέγγιση η οποία, αν και οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί τη χρησιμοποίησαν για να λύσουν τετραγωνικές εξισώσεις, ισοδυναμούσε με την εύρεση ενός μήκους που στα σημερινά μαθηματικά θα λέγαμε ότι ήταν η ρίζα μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ο Ευκλείδης δεν είχε καμία αντίληψη για εξίσωση, συντελεστές κ.λπ. αλλά δούλευε με καθαρά γεωμετρικά μεγέθη.

Ο Διόφαντος (3ος αιώνας μ.Χ.) ήταν ο πρωτοπόρος των εξισώσεων καθώς επινόησε και έλυσε πολύπλοκα αλγεβρικά προβλήματα χρησιμοποιώντας ενδιαφέρουσες και πρωτότυπες μεθόδους. Ωστόσο, τα έκανε όλα αυτά χωρίς καθορισμένη μεθοδολογία, επομένως το έργο του είχε περιορισμένη αξία για τη διδασκαλία των υπολοίπων. Από πολλούς αποκαλείται ως ο πατέρας της Άλγεβρας λόγο του έργου του «Αριθμητικά».

Η συστηματοποίηση προήλθε από τον Άραβα Al-Khawarizmi (9ος αιώνας). Ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε μια συστηματική διαδικασία για την επίλυση εξισώσεων πρώτου και δευτέρου βαθμού. Το βιβλίο του al-Jabr wa’l-Muqabala, από το οποίο πιθανολογείται ότι προέκυψε και η λέξη Άλγεβρα, ήταν ιδιαίτερα κατανοητό και περιεκτικό και μεταφράστηκε σε πολλές γλώσσες. Έχει έξι κεφάλαια το καθένα αφιερωμένο σε έναν διαφορετικό τύπο εξίσωσης, με τις εξισώσεις να αποτελούνται από τρεις τύπους μεγεθών και συγκεκριμένα: ρίζες, τετράγωνα ριζών και αριθμούς. Αποτέλεσε τη βάση για την περεταίρω εξέλιξη της Άλγεβρας.

Ο François Viète (1540–1603) είχε επιτυχή πολιτική σταδιοδρομία πριν ασχοληθεί με τα μαθηματικά αρκετά αργότερα στη ζωή του. Έγινε ένας από τους πιο διάσημους Γάλλους μαθηματικούς του 16ου αιώνα. Ο Viète εισήγαγε ένα νέο επίπεδο αφαίρεσης στην άλγεβρα αντικαθιστώντας με γράμματα τις γνωστές ποσότητες σε μια εξίσωση. Πριν από τον Viète, η κάθε εξίσωση έπρεπε να λυθεί ξεχωριστά. Για παράδειγμα, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις

\(2x^2+3x+7=0\) και \(3x^2-6x+5=0\)

έπρεπε να λυθούν ξεχωριστά με τη μέθοδο συμπλήρωσης του τετραγώνου. Η ιδέα του Viète ήταν να συνδέσει όλες τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις με έναν γενικό τύπο γράφοντας \(αx^2+βx+γ=0\), όπου α, β και γ είναι γνωστές ποσότητες που θα μπορούσε να λύσει όλες τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

Η μαθηματική ιδιοφυΐα του Viète αποδείχθηκε αρκετά πολύτιμη κατά τη διάρκεια ενός πολέμου μεταξύ Γαλλίας και Ισπανίας. Για να επικοινωνήσουν με τα στρατεύματά τους, οι Ισπανοί χρησιμοποίησαν ένα περίπλοκο κώδικα που ο Viète κατάφερε να αποκρυπτογραφήσει. Χωρίς να γνωρίζει το επίτευγμα του Viète, ο Ισπανός βασιλιάς, Φίλιππος Β', διαμαρτυρήθηκε στον Πάπα, ισχυριζόμενος ότι οι Γάλλοι χρησιμοποιούσαν μαγεία για να διαβάζουν τα μηνύματά του!

Τον 16ο αιώνα Ιταλοί μαθηματικοί που ασχολήθηκαν ιδιαίτερα με την Άλγεβρα, όπως ο Tartaglia, ο Cardano και άλλοι είχαν έντονες και παραγωγικές συζητήσεις, φέρνοντας νέες ιδέες και λύνοντας συγκεκριμένες μορφές εξισώσεων τρίτου βαθμού. Αυτό οδήγησε σε ένα μεγάλο άλμα προς τα εμπρός και στην αναζήτηση τρόπων επίλυσης εξισώσεων μεγαλύτερου βαθμού.

Για περισσότερο από τρεις αιώνες κανείς δεν ήταν σε θέση να βρει μια γενική λύση για μια εξίσωση πέμπτου βαθμού, μέχρι το 1821 όπου ο Νορβηγός Niels Abel αξιοποίησε έναν κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία ομάδων για να αποδείξει ότι δεν θα μπορούσε ποτέ να βρεθεί ένας γενικός τύπος λύσης εξισώσεων πέμπτου βαθμού.

# Οθόνη Βοήθειας

Να μελετήσετε το κείμενο.

# Καρτέλα Συντελεστών