Θέμα Α

Α1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης \( f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma \).
Να συμπληρώσετε τον πίνακα.
Α2. Δίνεται η παραβολή: \( f(x) = x^2 - 2kx + k, \quad k \in \mathbb{R} \).

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις.

1. Αν η παραβολή εφάπτεται στον άξονα \(x'x\), τότε:
   i. \(k = 0\) ii. \(k = 4\) iii. \(k = 0\) ή \(k = 1\)
2. Αν η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία \(x = 4\), τότε:
   i. \(k = 0\) ii. \(k = 2\) iii. \(k = 4\)
3. Αν η παραβολή έχει κορυφή ένα σημείο με τεταγμένη 2, τότε:
   i. \(k = 0\) ii. \(k = 2\) ή \(k = -1\) iii. \(k = 4\)
4. Αν η παραβολή είναι πάνω από τον άξονα \(x'x\), τότε:
   i. \(k \lt 0\) ii. \(k \gt 4\) iii. \(0 \lt k \lt 1\)
5. Αν η παραβολή διέρχεται από το σημείο \(A(1, |1-k|)\), τότε:
   i. \(k \leq 1\) ii. \(k \geq 3\) iii. \(k = 2\)

Θέμα B

Δίνονται οι συναρτήσεις:

- \( f(x) = x^2 - x - 2 \)
- \( g(x) = x^2 - 8x + 16 \)
- \( h(x) = x^2 - 2x + 5 \)

Για κάθε μία από τις παραπάνω συναρτήσεις:

Β1. Να βρείτε (αν υπάρχουν) τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\), \(g\) και \(h\) με τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\).

Β2. Να βρείτε τον άξονα συμμετρίας και τις κορυφές των παραβολών \(f\), \(g\) και \(h\).

Β3.
α. Ποια σχέση έχουν οι ρίζες καθενός από τα παραπάνω τριώνυμα με τις τετμημένες των σημείων τομής τους κάθε γραφικής παράστασης με τον άξονα \(x'x\);
β. Ποια σχέση έχει ο σταθερός όρος κάθε τριωνύμου με το σημείο τομής κάθε γραφικής παράστασης με τον άξονα \(y'y\);

Β4. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση κάθε συνάρτησης σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων.

Β5. Να λύσετε γραφικά και αλγεβρικά τις ανισώσεις:
i. \(f(x) \leq 0\) ii. \(g(x) \geq 1\) iii. \(h(x) \leq x + 3\)

Θέμα Γ

Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

- \(f(x) = |x-1|\)
- \(g(x) = -\frac{1}{3} x + \frac{5}{3}\)

Γ1. Με βάση το σχήμα να εκτιμήσετε τα σημεία τομής των \(C_{f}\) και \(C_{g} \) .

Γ2. Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά την απάντηση που δώσατε στο ερώτημα Γ1.

Γ3. Με βάση το σχήμα αλλά και αλγεβρικά να βρείτε για ποιες τιμές του \(x\) γραφική παράσταση της \(f\) δεν είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της \(g\).

Γ4. Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης \(\sqrt{3|x-1|+x-5}\)

Θέμα Δ

Δινεται η συνάρτηση: \(f(x)=(λ-1)x^2+(λ-1)x-2, \quad x \in \mathbb{R}, \quad λ \in \mathbb{R}\)

Δ1.
α. για κάθε \(λ \in \mathbb{R}\) η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον άξονα \(y'y\) σε σταθερό σημείο το οποίο και να προσδιορίσετε,
β. για κάθε \(λ \neq 1\)η γραφική παράσταση της \(f\) έχει άξονα συμμετρίας ευθεία ανεξάρτητη του \(λ\).

Δ2. Να βρείτε για ποια τιμή του \(λ\) η γραφική παράσταση της \(f\) είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα \(x'x\) και στη συνέχεια να τη σχεδιάσετε.

Δ3. Αν η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον άξονα \(x΄x\) σε σημείο με τετμημένη \(x = 1\), να βρείτε το \(λ\).

Δ4. Να βρεθούν οι τιμές του \(λ∈R\), για τις οποίες η γραφική παράσταση της \(f\) βρίσκεται κάτω από τον \(x'x\).

# Οθόνη Βοήθειας

Να μελετήσετε το κείμενο και να επιλύσετε τις ασκήσεις.

# Καρτέλα Συντελεστών