Εργασία με προεκτάσεις (συνθετική εργασία)

Εισαγωγή: Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν είναι συμπτώσιμα, δηλαδή με κατάλληλες μετακινήσεις μπορούν να συμπέσουν, δηλαδή να εφαρμόσει με ακρίβεια το ένα με το άλλο, χωρίς να μεγαλώσουν ή να μικρύνουν οι πλευρές τους, χωρίς να αλλάξουν τα μέτρα των γωνιών τους και γενικά χωρίς να παραμορφωθούν.

Για να αλλάξουμε τη θέση των σχημάτων μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους εξής γεωμετρικούς μετασχηματισμούς: την παράλληλη μεταφορά, την στροφή και την ανάκλαση.

Η ανάκλαση δεν διατηρεί τον προσανατολισμό των γωνιών. Η ιδιότητα αυτή την καθιστά μη επίπεδη μετακίνηση σε αντίθεση με τη στροφή και τη μεταφορά οι οποίες, είναι μετακινήσεις στο επίπεδο.

Για να αιτιολογήσουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων και να εφαρμόσουμε γεωμετρικούς μετασχηματισμούς όπως η μεταφορά, η ανάκλαση και η στροφή. Στη συνέχεια, τα τρίγωνα θα είναι συμπτώσιμα δηλαδή οι πλευρές και οι γωνίες τους θα ταυτίζονται.

1ο Κριτήριο ΠΠΠ (Πλευρά-Πλευρά-Πλευρά): Παίρνουμε τα τρίγωνα, το ΑΒΓ (κίτρινο) και το ΔΕΖ (μπλε) που έχουν ΑΒ=ΔΕ και ΑΓ=ΔΖ και ΒΓ=ΕΖ. Τα δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες αντίστοιχα ίσες. Με κατάλληλους μετασχηματισμούς αλλάζουμε τη θέση των τριγώνων μέχρι να καταφέρουμε το ένα τρίγωνο να συμπέσει με το άλλο. Ένας τρόπος εφαρμογής διαδοχικών μετασχηματισμών είναι ο ακόλουθος:

• Μεταφορά: Μετακινούμε το κίτρινο τρίγωνο ΑΒΓ, διατηρώντας τις αποστάσεις και τις γωνίες του σταθερές, ώστε η κορυφή Γ του ΑΒΓ να συμπέσει με την κορυφή Ζ του μπλε τριγώνου ΔΕΖ. Οι άλλες κορυφές A και B θα βρίσκονται κοντά στις Δ και Ε, αλλά σε διαφορετική θέση.
• Στροφή: Ακολούθως περιστρέφουμε αριστερόστροφα το κίτρινο τρίγωνο ΑΒΓ γύρω από την κοινή κορυφή Γ≡Z, ώστε η πλευρά του ΑΓ να ευθυγραμμιστεί με την πλευρά ΖΔ του τριγώνου ΔΕΖ. Η κορυφή B βρίσκεται κοντά στην E αλλά πιθανώς σε διαφορετική θέση.
• Ανάκλαση: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ έχει διαφορετικό προσανατολισμό από το τρίγωνο ΔΕΖ, τότε εφαρμόζουμε ανάκλαση. Χρησιμοποιούμε την κοινή πλευρά ΑΓ≡ΖΔ των δύο τριγώνων ως άξονα συμμετρίας. Έτσι το τρίγωνο ΑΒΓ προσανατολίζεται ώστε να συμπίπτει πλήρως με το τρίγωνο ΔΕΖ.

Με την ταύτιση πρώτα της κορυφής Γ με την κορυφή Ζ, την ευθυγράμμιση των πλευρών ΑΓ και ΖΔ, και την πιθανή ανάκλαση για να αντιμετωπιστεί ο διαφορετικός προσανατολισμός, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ συμπίπτουν πλήρως. Έτσι, αποδεικνύεται ότι είναι ίσα βάσει του κριτηρίου ΠΠΠ (Πλευρά-Πλευρά-Πλευρά).

Να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα:

1. Ποιες διαδικασίες ακολουθούμε για να κάνουμε τα ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ να συμπέσουν χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς μεταφοράς, στροφής και ανάκλασης;
2. Να διατυπώσετε το κριτήριο ΠΠΠ και να εξηγήσετε γιατί οι πλευρές των δύο τριγώνων εφαρμόζουν ακριβώς μετά από αυτούς τους μετασχηματισμούς;

2o Κριτήριο ΠΓΠ (Πλευρά-Γωνία-Πλευρά): Παίρνουμε τα τρίγωνα, το ΑΒΓ (κίτρινο) και το ΔΕΖ (μπλε) που έχουν \(\hat{Γ} = \hat{Z}\), ΒΓ=ΕΖ και ΑΓ=ΔΖ. Τα δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες αντίστοιχα ίσες. Με κατάλληλους μετασχηματισμούς αλλάζουμε τη θέση των τριγώνων μέχρι να καταφέρουμε το ένα τρίγωνο να συμπέσει με το άλλο. Ένας τρόπος εφαρμογής διαδοχικών μετασχηματισμών είναι ο ακόλουθος:

• Μεταφορά: Μετακινούμε το κίτρινο τρίγωνο ΑΒΓ, διατηρώντας τις αποστάσεις και τις γωνίες του σταθερές, ώστε η κορυφή Γ του ΑΒΓ να συμπέσει με την κορυφή Ζ του μπλε τριγώνου ΔΕΖ. Οι άλλες κορυφές A και B θα βρίσκονται κοντά στις Δ και Ε, αλλά σε διαφορετική θέση.
• Στροφή: Ακολούθως περιστρέφουμε αριστερόστροφα το κίτρινο τρίγωνο ΑΒΓ γύρω από την κοινή κορυφή Γ≡Z, ώστε η πλευρά του ΑΓ να ευθυγραμμιστεί με την πλευρά ΖΔ του τριγώνου ΔΕΖ. Η κορυφή B βρίσκεται κοντά στην E αλλά πιθανώς σε διαφορετική θέση.
• Ανάκλαση: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ έχει διαφορετικό προσανατολισμό από το τρίγωνο ΔΕΖ, τότε εφαρμόζουμε ανάκλαση. Χρησιμοποιούμε την κοινή πλευρά ΑΓ≡ΖΔ των δύο τριγώνων ως άξονα συμμετρίας. Έτσι το τρίγωνο ΑΒΓ προσανατολίζεται ώστε να συμπίπτει πλήρως με το τρίγωνο ΔΕΖ.

Με την ταύτιση πρώτα της κορυφής Γ με την κορυφή Ζ, την ευθυγράμμιση των πλευρών ΑΓ και ΖΔ, και την πιθανή ανάκλαση για να αντιμετωπιστεί ο διαφορετικός προσανατολισμός, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ συμπίπτουν πλήρως. Έτσι, αποδεικνύεται ότι είναι ίσα βάσει του κριτηρίου ΠΓΠ (Πλευρά-Γωνία-Πλευρά).

Να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα:

1. Ποιες διαδικασίες ακολουθούμε για να κάνουμε τα ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ να συμπέσουν χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς μεταφοράς, στροφής και ανάκλασης;
2. Να διατυπώσετε το κριτήριο ΠΓΠ και να εξηγήσετε γιατί οι πλευρές των δύο τριγώνων εφαρμόζουν ακριβώς μετά από αυτούς τους μετασχηματισμούς;

3o Κριτήριο ΓΠΓ (Γωνία-Πλευρά-Γωνία): Παίρνουμε τα τρίγωνα, το ΑΒΓ (κίτρινο) και το ΔΕΖ (μπλε) που έχουν \(A=\hat{Δ}, \hat{Γ}=\hat{Ζ}\). Τα δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες γωνίες αντίστοιχα ίσες. Με κατάλληλους μετασχηματισμούς αλλάζουμε τη θέση των τριγώνων μέχρι να καταφέρουμε το ένα τρίγωνο να συμπέσει με το άλλο. Ένας τρόπος εφαρμογής διαδοχικών μετασχηματισμών είναι ο ακόλουθος:

• Μεταφορά: Μετακινούμε το κίτρινο τρίγωνο ΑΒΓ, διατηρώντας τις αποστάσεις και τις γωνίες του σταθερές, ώστε η κορυφή Γ του ΑΒΓ να συμπέσει με την κορυφή Ζ του μπλε τριγώνου ΔΕΖ. Οι άλλες κορυφές A και B θα βρίσκονται κοντά στις Δ και Ε, αλλά σε διαφορετική θέση.
• Στροφή: Ακολούθως περιστρέφουμε αριστερόστροφα το κίτρινο τρίγωνο ΑΒΓ γύρω από την κοινή κορυφή Γ≡Z, ώστε η πλευρά του ΑΓ να ευθυγραμμιστεί με την πλευρά ΖΔ του τριγώνου ΔΕΖ. Η κορυφή B βρίσκεται κοντά στην E αλλά πιθανώς σε διαφορετική θέση.
• Ανάκλαση: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ έχει διαφορετικό προσανατολισμό από το τρίγωνο ΔΕΖ, τότε εφαρμόζουμε ανάκλαση. Χρησιμοποιούμε την κοινή πλευρά ΑΓ≡ΖΔ των δύο τριγώνων ως άξονα συμμετρίας. Έτσι το τρίγωνο ΑΒΓ προσανατολίζεται ώστε να συμπίπτει πλήρως με το τρίγωνο ΔΕΖ.

Με την ταύτιση πρώτα της κορυφής Γ με την κορυφή Ζ, την ευθυγράμμιση των πλευρών ΑΓ και ΖΔ, και την πιθανή ανάκλαση για να αντιμετωπιστεί ο διαφορετικός προσανατολισμός, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ συμπίπτουν πλήρως. Έτσι, αποδεικνύεται ότι είναι ίσα βάσει του κριτηρίου ΓΠΓ (Πλευρά-Γωνία-Πλευρά).

Να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα:

1. Ποιες διαδικασίες ακολουθούμε για να κάνουμε τα ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ να συμπέσουν χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς μεταφοράς, στροφής και ανάκλασης;
2. Να διατυπώσετε το κριτήριο ΓΠΓ και να εξηγήσετε γιατί οι πλευρές των δύο τριγώνων εφαρμόζουν ακριβώς μετά από αυτούς τους μετασχηματισμούς;

Συμπεράσματα: Τα κριτήρια ισότητας τριγώνων – ΠΠΠ (Πλευρά-Πλευρά-Πλευρά), ΠΓΠ (Πλευρά-Γωνία-Πλευρά) και ΓΠΓ (Γωνία-Πλευρά-Γωνία) – μας βοηθούν να κατανοήσουμε πώς μπορούμε να αιτιολογήσουμε την ισότητα δύο τριγώνων. Με τη βοήθεια των γεωμετρικών μετασχηματισμών, όπως η ανάκλαση, η μεταφορά και η στροφή, μπορούμε να μετακινήσουμε, να περιστρέψουμε ή να ανακλάσουμε τα τρίγωνα για να τα φέρουμε σε πλήρη ταύτιση. Έτσι, χρησιμοποιούμε τα κριτήρια για να αποδείξουμε με συλλογισμούς ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα.